線性代數/線性無關的定義和例子/解決方案

解決方案

此練習推薦給所有讀者。

問題 1

確定 $\mathbb {R} ^{3}$ 的每個子集是線性相關還是線性無關的。

$\{{\begin{pmatrix}1\\-3\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\-4\\14\end{pmatrix}}\}$
$\{{\begin{pmatrix}1\\7\\7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\7\\7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\7\\7\end{pmatrix}}\}$
$\{{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}}\}$
$\{{\begin{pmatrix}9\\9\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\5\\-4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}12\\12\\-1\end{pmatrix}}\}$

答案

對於這些中的每一個，當子集是獨立的時，必須證明它，當子集是相關的時，必須給出相關性的示例。

它是相關的。考慮到
$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\-3\\5\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}4\\-4\\14\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$
產生了這個線性系統。
${\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&+&2c_{2}&+&4c_{3}&=&0\\-3c_{1}&+&2c_{2}&-&4c_{3}&=&0\\5c_{1}&+&4c_{2}&+&14c_{3}&=&0\end{array}}$
高斯消元法
$\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&2&4&0\\-3&2&-4&0\\5&4&14&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{-5\rho _{1}+\rho _{3}}]{3\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{(3/4)\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&2&4&0\\0&8&8&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)$
得到一個自由變數，因此有無窮多個解。例如，我們可以令 $c_{3}$ 等於，比如說， $1$ 。然後我們得到 $c_{2}=-1$ 和 $c_{1}=-2$ 。
它是線性相關的。這裡出現的線性方程組
$\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&2&3&0\\7&7&7&0\\7&7&7&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-7\rho _{1}+\rho _{3}}]{-7\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&2&3&0\\0&-7&-14&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)$
有無限多個解。我們可以透過取 $c_{3}$ 為，比如， $1$ ，然後反代入得到相應的 $c_{2}$ 和 $c_{1}$ 來得到一個特解。
它是線性無關的。系統
$\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}0&1&0\\0&0&0\\-1&4&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{3}\leftrightarrow \rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}-1&4&0\\0&1&0\\0&0&0\end{array}}\right)$
只有 $c_{1}=0$ 和 $c_{2}=0$ 這個解。（我們也可以透過觀察得到答案——第二個向量顯然不是第一個向量的倍數，反之亦然。）
它是線性相關的。線性系統
$\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}9&2&3&12&0\\9&0&5&12&0\\0&1&-4&-1&0\end{array}}\right)$
未知數比方程多，因此高斯消元法必須至少有一個變數自由（因為系統是齊次的，所以它至少有一個全零解，因此不可能出現矛盾方程）。為了展現組合，我們可以進行如下化簡
${\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}9&2&3&12&0\\0&-2&2&0&0\\0&0&-3&-1&0\end{array}}\right)$
並取，比如， $c_{4}=1$ 。然後我們有 $c_{3}=-1/3$ ， $c_{2}=-1/3$ ，以及 $c_{1}=-31/27$ .

此練習推薦給所有讀者。

問題 2

以下 ${\mathcal {P}}_{3}$ 的子集，哪些線性相關，哪些線性無關？

$\{3-x+9x^{2},5-6x+3x^{2},1+1x-5x^{2}\}$
$\{-x^{2},1+4x^{2}\}$
$\{2+x+7x^{2},3-x+2x^{2},4-3x^{2}\}$
$\{8+3x+3x^{2},x+2x^{2},2+2x+2x^{2},8-2x+5x^{2}\}$

答案

在獨立的情況下，必須進行證明。否則，必須給出具體的依賴關係。（當然，除了這裡展示的依賴關係之外，還可能存在其他依賴關係。）

這個集合是獨立的。建立關係 $c_{1}(3-x+9x^{2})+c_{2}(5-6x+3x^{2})+c_{3}(1+1x-5x^{2})=0+0x+0x^{2}$ 會得到一個線性方程組
$\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}3&5&1&0\\-1&-6&1&0\\9&3&-5&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{(1/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{3\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-(12/13)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}3&5&1&0\\0&-13&4&0\\0&0&-128/13&0\end{array}}\right)$
只有一個解: $c_{1}=0$ , $c_{2}=0$ ，以及 $c_{3}=0$ .
該集合是線性無關的。我們可以透過觀察，直接從線性無關的定義來判斷。顯然，兩者都不是對方的倍數。
該集合是線性無關的。線性系統以這種方式簡化
$\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&3&4&0\\1&-1&0&0\\7&2&-3&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-(7/2)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-(17/5)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&3&4&0\\0&-5/2&-2&0\\0&0&-51/5&0\end{array}}\right)$
以證明只有一個解 $c_{1}=0$ , $c_{2}=0$ ，以及 $c_{3}=0$ .
該集合是線性相關的。線性系統
$\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}8&0&2&8&0\\3&1&2&-2&0\\3&2&2&5&0\end{array}}\right)$
在化簡後，必須至少有一個變數是自由的（變數比方程多，並且由於系統是齊次的，不可能出現矛盾的方程）。我們可以將自由變數作為引數來描述解集。然後，我們可以將引數設定為非零值以獲得非平凡的線性關係。

此練習推薦給所有讀者。

問題 3

證明每個集合 $\{f,g\}$ 在所有從 $\mathbb {R} ^{+}$ 到 $\mathbb {R}$ 的所有函式的向量空間中是線性無關的。

$f(x)=x$ 以及 $g(x)=1/x$
$f(x)=\cos(x)$ 和 $g(x)=\sin(x)$
$f(x)=e^{x}$ 和 $g(x)=\ln(x)$

答案

令 $Z$ 為零函式 $Z(x)=0$ ，它是在討論的向量空間中的加法單位元。

此集合是線性無關的。考慮 $c_{1}\cdot f(x)+c_{2}\cdot g(x)=Z(x)$ 。代入 $x=1$ 和 $x=2$ 得到了一個線性方程組
${\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}\cdot 1&+&c_{2}\cdot 1&=&0\\c_{1}\cdot 2&+&c_{2}\cdot (1/2)&=&0\end{array}}$
它的唯一解為 $c_{1}=0$ ， $c_{2}=0$ 。
此集合是線性無關的。考慮 $c_{1}\cdot f(x)+c_{2}\cdot g(x)=Z(x)$ 並代入 $x=0$ 和 $x=\pi /2$ ，得到
${\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}\cdot 1&+&c_{2}\cdot 0&=&0\\c_{1}\cdot 0&+&c_{2}\cdot 1&=&0\end{array}}$
這顯然表明 $c_{1}=0$ ， $c_{2}=0$ 。
這組函式也線性無關。考慮 $c_{1}\cdot f(x)+c_{2}\cdot g(x)=Z(x)$ ，並代入 $x=1$ 和 $x=e$ 。
${\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}\cdot e&+&c_{2}\cdot 0&=&0\\c_{1}\cdot e^{e}&+&c_{2}\cdot 1&=&0\end{array}}$
表明 $c_{1}=0$ 和 $c_{2}=0$ 。

此練習推薦給所有讀者。

問題 4

下列哪些實數一元函式空間的子集線性相關，哪些線性無關？ (注意我們簡寫了一些常數函式; 例如，在第一項中，“ $2$ ”代表常數函式 $f(x)=2$ 。)

$\{2,4\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x)\}$
$\{1,\sin(x),\sin(2x)\}$
$\{x,\cos(x)\}$
$\{(1+x)^{2},x^{2}+2x,3\}$
$\{\cos(2x),\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x)\}$
$\{0,x,x^{2}\}$

答案

在每種情況下，必須證明該集合是線性無關的，並且必須透過展示一個特定的依賴關係來表明它是線性相關的。

此集合是線性相關的。熟悉的等式 $\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1$ 表明 $2=c_{1}\cdot (4\sin ^{2}(x))+c_{2}\cdot (\cos ^{2}(x))$ 可以被 $c_{1}=1/2$ 和 $c_{2}=2$ 滿足。
此集合是線性無關的。考慮關係 $c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot \sin(x)+c_{3}\cdot \sin(2x)=0$ （其中“ $0$ ”是零函式）。取 $x=0$ 、 $x=\pi /2$ 和 $x=\pi /4$ 給出了以下線性方程組。
${\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&&&&&=&0\\c_{1}&+&c_{2}&&&=&0\\c_{1}&+&({\sqrt {2}}/2)c_{2}&+&c_{3}&=&0\end{array}}$
其唯一解是 $c_{1}=0$ 、 $c_{2}=0$ 和 $c_{3}=0$ 。
透過觀察，此集合是線性無關的。任何依賴關係 $\cos(x)=c\cdot x$ 都不可能成立，因為餘弦函式不是恆等函式的倍數（這裡應用了推論 1.17）。
透過觀察，我們發現存在依賴關係。因為 $(1+x)^{2}=x^{2}+2x+1$ ，我們得到 $c_{1}\cdot (1+x)^{2}+c_{2}\cdot (x^{2}+2x)=3$ 被 $c_{1}=3$ 和 $c_{2}=-3$ 滿足。
這組集合是相關的。最簡單的方法是回憶三角函式關係 $\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=\cos(2x)$ 。（備註。 如果一個人不記得這個關係，並嘗試一些 $x$ ，則永遠無法得到一個導致唯一解的系統，也永遠無法得出結論，即該集合是獨立的。當然，這個人可能會懷疑他們是否只是沒有嘗試正確的 $x$ 集合，但是經過幾次嘗試後，大多數人會轉而尋找依賴關係。）
這組集合是相關的，因為它包含向量空間中的零物件，即零多項式。

問題 5

方程 $\sin ^{2}(x)/\cos ^{2}(x)=\tan ^{2}(x)$ 是否表明該函式集合 $\{\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x),\tan ^{2}(x)\}$ 是所有定義域為實數區間 $(-\pi /2..\pi /2)$ （介於 $-\pi /2$ 和 $\pi /2)$ 之間）的所有實值函式的線性相關子集嗎？

答案

不，該方程不是線性關係。事實上，這組集合是獨立的，因為從取 $x$ 為 $0$ ， $\pi /6$ 和 $\pi /4$ 所產生的系統表明。

問題 6

為什麼引理 1.4 說“不同的”？

答案

為了強調方程 $1\cdot {\vec {s}}+(-1)\cdot {\vec {s}}={\vec {0}}$ 並不會使該集合相關。

此練習推薦給所有讀者。

問題 7

證明階梯形矩陣的非零行構成線性無關集。

答案

我們已經證明了這一點：線性組合引理及其推論指出，在階梯形矩陣中，任何非零行都不是其他行的線性組合。

此練習推薦給所有讀者。

問題 8

證明如果集合 $\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\}$ 是線性無關集，那麼集合 $\{{\vec {u}},{\vec {u}}+{\vec {v}},{\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}\}$ 也是線性無關集。
集合 $\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\}$ 的線性無關性或相關性與集合 $\{{\vec {u}}-{\vec {v}},{\vec {v}}-{\vec {w}},{\vec {w}}-{\vec {u}}\}$ 的無關性或相關性之間有什麼關係？

答案

假設集合 $\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\}$ 線性無關，所以任何關係 $d_{0}{\vec {u}}+d_{1}{\vec {v}}+d_{2}{\vec {w}}={\vec {0}}$ 都將得出結論 $d_{0}=0$ ， $d_{1}=0$ ，以及 $d_{2}=0$ 。考慮關係 $c_{1}({\vec {u}})+c_{2}({\vec {u}}+{\vec {v}})+c_{3}({\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}})={\vec {0}}$ 。改寫它得到 $(c_{1}+c_{2}+c_{3}){\vec {u}}+(c_{2}+c_{3}){\vec {v}}+(c_{3}){\vec {w}}={\vec {0}}$ 。取 $d_{0}$ 為 $c_{1}+c_{2}+c_{3}$ ，取 $d_{1}$ 為 $c_{2}+c_{3}$ ，以及取 $d_{2}$ 為 $c_{3}$ ，我們有這個系統。
${\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&+&c_{3}&=&0\\&&c_{2}&+&c_{3}&=&0\\&&&&c_{3}&=&0\end{array}}$
結論：所有 $c$ 均為零，因此該集合線性無關。
第二組集合是線性相關的。
$1\cdot ({\vec {u}}-{\vec {v}})+1\cdot ({\vec {v}}-{\vec {w}})+1\cdot ({\vec {w}}-{\vec {u}})={\vec {0}}$
第一組集合是否線性無關。

問題 9

例 1.10 表明空集線性無關。

當一個元素集線性無關時？
兩個元素集呢？

答案

單元素集 $\{{\vec {v}}\}$ 線性無關當且僅當 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$ 。對於“當”方向，若 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$ ，我們可以考慮關係 $c\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$ ，並根據引理 1.4 可知，唯一解是平凡解： $c=0$ 。對於“僅當”方向，請記住例 1.11 表明 $\{{\vec {0}}\}$ 是線性相關的，因此如果集 $\{{\vec {v}}\}$ 線性無關，則 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$ 。(備註。另一個答案是說，這是引理 1.16 中 $S=\varnothing$ 的特殊情況。)
包含兩個元素的集合線性無關，當且僅當集合中任何一個元素都不是另一個元素的倍數（注意，如果其中一個是零向量，那麼它就是另一個元素的倍數，所以這種情況也包含在內）。這是一個等價的陳述：一個集合線性相關，當且僅當其中一個元素是另一個元素的倍數。證明很簡單。一個集合 $\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\}$ 線性相關，當且僅當存在一個關係 $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}={\vec {0}}$ ，其中 $c_{1}\neq 0$ 或 $c_{2}\neq 0$ （或兩者都有）。只有當 ${\vec {v}}_{1}=(-c_{2}/c_{1}){\vec {v}}_{2}$ 或 ${\vec {v}}_{2}=(-c_{1}/c_{2}){\vec {v}}_{1}$ （或兩者都有）。

問題 10

在任何向量空間 $V$ 中，空集是線性無關的。整個 $V$ 呢？

答案

該集合是線性相關的，因為它包含零向量。

問題 11

證明如果 $\{{\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}}\}$ 線性無關，那麼它的所有真子集也是線性無關的： $\{{\vec {x}},{\vec {y}}\}$ , $\{{\vec {x}},{\vec {z}}\}$ , $\{{\vec {y}},{\vec {z}}\}$ , $\{{\vec {x}}\}$ , $\{{\vec {y}}\}$ , $\{{\vec {z}}\}$ 和 $\{\}$ 。這是“當且僅當”嗎？

答案

“如果”部分由引理 1.14給出。反之（“當且僅當”語句）不成立。一個例子是考慮向量空間 $\mathbb {R} ^{2}$ 和這些向量。

{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {y}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\quad {\vec {z}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}

問題 12

證明這個
$S=\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}\}$
是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的一個線性無關子集。
證明
${\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}}$
在 $S$ 的線性組合中，透過找到 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 來獲得線性關係。
$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}}$
證明 $c_{1},c_{2}$ 是唯一的。
假設 $S$ 是向量空間的子集，並且 ${\vec {v}}$ 在 $[S]$ 中，因此 ${\vec {v}}$ 是 $S$ 中向量的線性組合。證明如果 $S$ 是線性無關的，那麼 $S$ 中向量的線性組合加到 ${\vec {v}}$ 是唯一的（也就是說，除了重新排序以及新增或刪除 $0\cdot {\vec {s}}$ 形式的項之外）。因此， $S$ 作為生成集，在此意義上是最小的： $[S]$ 中的每個向量只被 "擊中" 一次，即最少次數。
證明當 $S$ 不是線性無關的時，不同的線性組合可以加到同一個向量。

答案

由下式產生的線性方程組：
$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$
只有一個解 $c_{1}=0$ 和 $c_{2}=0$ .
由下式產生的線性方程組：
$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}}$
只有一個解 $c_{1}=8/3$ 和 $c_{2}=-1/3$ .
假設 $S$ 是線性無關的。假設我們既有 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}$ 也有 ${\vec {v}}=d_{1}{\vec {t}}_{1}+\dots +d_{m}{\vec {t}}_{m}$ （其中向量是 $S$ 的成員）。現在，
$c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}={\vec {v}}=d_{1}{\vec {t}}_{1}+\dots +d_{m}{\vec {t}}_{m}$
可以這樣改寫。
$c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}-d_{1}{\vec {t}}_{1}-\dots -d_{m}{\vec {t}}_{m}={\vec {0}}$
Possibly some of the ${\vec {s}}\,$ 's equal some of the ${\vec {t}}\,$ 's; we can combine the associated coefficients (i.e., if ${\vec {s}}_{i}={\vec {t}}_{j}$ then $\cdots +c_{i}{\vec {s}}_{i}+\dots -d_{j}{\vec {t}}_{j}-\cdots$ can be rewritten as $\cdots +(c_{i}-d_{j}){\vec {s}}_{i}+\cdots$ ). That equation is a linear relationship among distinct (after the combining is done) members of the set $S$ . We've assumed that $S$ is linearly independent, so all of the coefficients are zero. If $i$ is such that ${\vec {s}}_{i}$ does not equal any ${\vec {t}}_{j}$ then $c_{i}$ is zero. If $j$ is such that ${\vec {t}}_{j}$ does not equal any ${\vec {s}}_{i}$ then $d_{j}$ is zero. In the final case, we have that $c_{i}-d_{j}=0$ and so $c_{i}=d_{j}$ . Therefore, the original two sums are the same, except perhaps for some $0\cdot {\vec {s}}_{i}$ or $0\cdot {\vec {t}}_{j}$ terms that we can neglect.
這個集合不是線性無關的
$S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\}\subset \mathbb {R} ^{2}$
這兩個線性組合得出相同的結果
${\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=2\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}-1\cdot {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}=4\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}-2\cdot {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$
因此，線性相關的集合可能具有不確定的和。事實上，以下更強的結論成立：如果一個集合線性相關，那麼它一定具有以下性質：存在兩個不同的線性組合，它們的和是同一個向量。簡而言之，如果 $c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}={\vec {0}}$ ，那麼將等式兩邊乘以 2 會得到另一個關係式。如果第一個關係式是非平凡的，那麼第二個關係式也是非平凡的。

問題 13

證明一個多項式能產生零函式當且僅當它本身是零多項式。（注：這個問題不是線性代數問題，但我們經常使用其結論。多項式以顯而易見的方式產生函式： $x\mapsto c_{n}x^{n}+\dots +c_{1}x+c_{0}$ 。）

答案

在這個 “當且僅當” 語句中， “如果” 部分是清楚的——如果多項式是零多項式，那麼由該多項式作用產生的函式一定是零函式 $x\mapsto 0$ 。對於 “僅當” 部分，我們寫 $p(x)=c_{n}x^{n}+\dots +c_{0}$ 。將零代入，得到 $p(0)=0$ ，由此得到 $c_{0}=0$ 。對多項式求導並代入零，得到 $p^{\prime }(0)=0$ ，由此得到 $c_{1}=0$ 。類似地，我們可以得到每個 $c_{i}$ 都為零，並且 $p$ 是零多項式。

問題 14

回到 1.2 節，並重新定義點、直線、平面以及其他線性曲面，以避免退化情況。

答案

本節的結論表明，一個 $n$ 維非退化線性曲面應該被定義為一個線性無關向量集的線性生成空間。

問題 15

證明 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的任何四個向量線性相關。
對於任何五個向量或三個向量，這個結論是否成立？
$\mathbb {R} ^{2}$ 的線性無關子集最多可以包含多少個元素？

答案

對於任意 $a_{1,1}$ , ..., $a_{2,4}$ ,
$c_{1}{\begin{pmatrix}a_{1,1}\\a_{2,1}\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}a_{1,2}\\a_{2,2}\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}a_{1,3}\\a_{2,3}\end{pmatrix}}+c_{4}{\begin{pmatrix}a_{1,4}\\a_{2,4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$
得到一個線性方程組
${\begin{array}{*{4}{rc}r}a_{1,1}c_{1}&+&a_{1,2}c_{2}&+&a_{1,3}c_{3}&+&a_{1,4}c_{4}&=&0\\a_{2,1}c_{1}&+&a_{2,2}c_{2}&+&a_{2,3}c_{3}&+&a_{2,4}c_{4}&=&0\end{array}}$
該方程組有無窮多個解（高斯消元法至少會留下兩個自由變數）。因此，給定 $\mathbb {R} ^{2}$ 的元素之間存在非平凡的線性關係。
任何五個向量集都是四個向量集的超集，因此它們線性相關。對於來自 $\mathbb {R} ^{2}$ 的三個向量，前面的論點仍然適用，只是高斯消元法現在至少留下一個自由變數（但這仍然給出了無窮多個解）。
前面的論點表明 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的任何三個元素子集都是線性相關的。我們知道 $\mathbb {R} ^{2}$ 中存在兩個元素子集是線性無關的——其中一個是
$\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\}$
因此答案是二。

此練習推薦給所有讀者。

問題 16

在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，是否存在四個向量，其中任意三個向量都構成線性無關集？

答案

是的，以下是一個例子。

\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\}

問題 17

每個線性相關集一定包含一個線性相關子集和一個線性無關子集嗎？

答案

是的，兩個非真子集，即整個集合和空集，都可以作為例子。

問題 18

在 $\mathbb {R} ^{4}$ 中，你能找到的最大的線性無關集是什麼？最小的呢？最大的線性相關集是什麼？最小的呢？（“最大”和“最小”是指不存在具有相同性質的超集或子集）。

答案

在 $\mathbb {R} ^{4}$ 中，最大的線性無關集包含四個向量。存在許多這樣的集合，以下是一個例子。

\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\}

為了證明沒有包含五個或更多向量的集合可以是線性無關的，我們構建如下方程。

c_{1}{\begin{pmatrix}a_{1,1}\\a_{2,1}\\a_{3,1}\\a_{4,1}\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}a_{1,2}\\a_{2,2}\\a_{3,2}\\a_{4,2}\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}a_{1,3}\\a_{2,3}\\a_{3,3}\\a_{4,3}\end{pmatrix}}+c_{4}{\begin{pmatrix}a_{1,4}\\a_{2,4}\\a_{3,4}\\a_{4,4}\end{pmatrix}}+c_{5}{\begin{pmatrix}a_{1,5}\\a_{2,5}\\a_{3,5}\\a_{4,5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}

並注意，得到的線性方程組

{\begin{array}{*{5}{rc}r}a_{1,1}c_{1}&+&a_{1,2}c_{2}&+&a_{1,3}c_{3}&+&a_{1,4}c_{4}&+&a_{1,5}c_{5}&=&0\\a_{2,1}c_{1}&+&a_{2,2}c_{2}&+&a_{2,3}c_{3}&+&a_{2,4}c_{4}&+&a_{2,5}c_{5}&=&0\\a_{3,1}c_{1}&+&a_{3,2}c_{2}&+&a_{3,3}c_{3}&+&a_{3,4}c_{4}&+&a_{3,5}c_{5}&=&0\\a_{4,1}c_{1}&+&a_{4,2}c_{2}&+&a_{4,3}c_{3}&+&a_{4,4}c_{4}&+&a_{4,5}c_{5}&=&0\end{array}}

有四個方程和五個未知數，因此高斯消元法必須至少留下一個 $c$ 變數自由，所以存在無窮多解，因此上述四個向量之間的線性關係具有非零解。

最小的線性無關集為空集。

最大的線性相關集為 $\mathbb {R} ^{4}$ 。最小的為 $\{{\vec {0}}\}$ .

此練習推薦給所有讀者。

問題 19

線性無關和線性相關是集合的性質。因此我們可以自然地問這些性質如何與熟悉的集合關係和運算有關。在本節的正文中，我們已經涵蓋了子集和超集關係。我們也可以考慮交集、補集和並集運算。

線性無關如何與交集相關：線性無關集的交集可以是無關的嗎？必須是嗎？
線性無關如何與補集相關？
證明兩個線性無關集的並集不一定是線性無關的。
用每個集合的跨度的交集來描述兩個線性無關集的並集何時是線性無關的。

答案

兩個線性無關集的交集 $S\cap T$ 必須是線性無關的，因為它線性無關集 $S$ 的一個子集（當然也是線性無關集 $T$ 的子集）。
線性無關集的補集是線性相關的，因為它包含零向量。
我們必須舉出一個例子。在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，一個例子是
$S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\}\quad {\text{and}}\quad T=\{{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\}$
因為 $S_{1}\cup S_{2}$ 的線性相關性很容易看出。
The union of two linearly independent sets $S\cup T$ is linearly independent if and only if their spans have a trivial intersection $[S]\cap [T]=\{{\vec {0}}\}$ . To prove that, assume that $S$ and $T$ are linearly independent subsets of some vector space. For the "only if" direction, assume that the intersection of the spans is trivial $[S]\cap [T]=\{{\vec {0}}\}$ . Consider the set $S\cup T$ . Any linear relationship $c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}+d_{1}{\vec {t}}_{1}+\dots +d_{m}{\vec {t}}_{m}={\vec {0}}$ gives $c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}=-d_{1}{\vec {t}}_{1}-\dots -d_{m}{\vec {t}}_{m}$ . The left side of that equation sums to a vector in $[S]$ , and the right side is a vector in $[T]$ . Therefore, since the intersection of the spans is trivial, both sides equal the zero vector. Because $S$ is linearly independent, all of the $c$ 's are zero. Because $T$ is linearly independent, all of the $d$ 's are zero. Thus, the original linear relationship among members of $S\cup T$ only holds if all of the coefficients are zero. That shows that $S\cup T$ is linearly independent. For the "if" half we can make the same argument in reverse. If the union $S\cup T$ is linearly independent, that is, if the only solution to $c_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}+d_{1}{\vec {t}}_{1}+\cdots +d_{m}{\vec {t}}_{m}={\vec {0}}$ is the trivial solution $c_{1}=0$ , ..., $d_{m}=0$ , then any vector ${\vec {v}}$ in the intersection of the spans ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}=-d_{1}{\vec {t}}_{1}-\cdots =d_{m}{\vec {t}}_{m}$ must be the zero vector because each scalar is zero.

此練習推薦給所有讀者。

問題 20

對於定理 1.12，

補全證明中的歸納步驟；
給出另一個證明，從空集開始，構造給定有限集的線性無關子集序列，直到出現一個與給定集具有相同跨度的子集。

答案

We do induction on the number of vectors in the finite set $S$ . The base case is that $S$ has no elements. In this case $S$ is linearly independent and there is nothing to check— a subset of $S$ that has the same span as $S$ is $S$ itself. For the inductive step assume that the theorem is true for all sets of size $n=0$ , $n=1$ , ..., $n=k$ in order to prove that it holds when $S$ has $n=k+1$ elements. If the $k+1$ -element set $S=\{{\vec {s}}_{0},\dots ,{\vec {s}}_{k}\}$ is linearly independent then the theorem is trivial, so assume that it is dependent. By Corollary 1.17 there is an ${\vec {s}}_{i}$ that is a linear combination of other vectors in $S$ . Define $S_{1}=S-\{{\vec {s}}_{i}\}$ and note that $S_{1}$ has the same span as $S$ by Lemma 1.1. The set $S_{1}$ has $k$ elements and so the inductive hypothesis applies to give that it has a linearly independent subset with the same span. That subset of $S_{1}$ is the desired subset of $S$ .
以下是論證的概述。歸納論證的細節被省略了。如果有限集 $S$ 為空，則無需證明。如果 $S=\{{\vec {0}}\}$ ，則空子集即可。否則，取一個非零向量 ${\vec {s}}_{1}\in S$ ，並定義 $S_{1}=\{{\vec {s}}_{1}\}$ 。如果 $[S_{1}]=[S]$ ，則該證明已完成，因為 $S_{1}$ 線性無關。如果不是，則存在一個非零向量 ${\vec {s}}_{2}\in S-[S_{1}]$ （如果每個 ${\vec {s}}\in S$ 都在 $[S_{1}]$ 中，則 $[S_{1}]=[S]$ ）。定義 $S_{2}=S_{1}\cup \{{\vec {s}}_{2}\}$ 。如果 $[S_{2}]=[S]$ ，則該證明已完成，透過使用定理 1.17 可以證明 $S_{2}$ 線性無關。重複上一段，直到出現一個跨度足夠大的集合。由於 $S$ 是有限的，並且 $[S]$ 最遲會在從 $S$ 中使用所有向量時達到。

問題 21

透過一些計算，我們可以得到一些公式來判斷一組向量是否線性無關。

證明 $\mathbb {R} ^{2}$ 的這個子集
$\{{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}\}$
如果且僅當 $ad-bc\neq 0$ 時，線性無關。
證明 $\mathbb {R} ^{3}$ 的這個子集
$\{{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}\}$
線性無關，當且僅當 $aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec\neq 0$ 。
什麼時候 $\mathbb {R} ^{3}$ 的這個子集
$\{{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}\}$
線性無關？
這是一個開放式問題：對於來自 $\mathbb {R} ^{4}$ 的四個向量集，是否必須存在一個涉及十六個條目的公式來確定該集合的獨立性？（你不需要給出這樣的公式，只需要判斷是否存在這樣的公式。）

答案

假設首先 $a\neq 0$ ，
$x{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}+y{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$
得到
${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&0\\cx&+&dy&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-(c/a)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&0\\&&(-(c/a)b+d)y&=&0\end{array}}$
只有當 $0\neq -(c/a)b+d=(-cb+ad)/d$ 時，方程才會有解（在這個情況下我們假設了 $a\neq 0$ ，所以回代可以得到唯一解）。當 $a=0$ 時，也不難處理——把它分解成 $c\neq 0$ 和 $c=0$ 子情況，並注意到在這些情況下 $ad-bc=0\cdot d-bc$ 。 評論。 之前的練習表明，如果且僅當兩個向量中的一個向量是另一個向量的標量倍數時，兩個向量集合才是線性相關的。這也可以用來進行計算。
方程
$c_{1}{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$
產生了齊次線性方程組。我們透過把它寫成矩陣形式並應用高斯消元法來進行。我們首先將矩陣化為上三角矩陣。假設 $a\neq 0$ .
${\begin{array}{rcl}{\xrightarrow[{}]{(1/a)\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&b/a&c/a&0\\d&e&f&0\\g&h&i&0\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{-g\rho _{1}+\rho _{3}}]{-d\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&b/a&c/a&0\\0&(ae-bd)/a&(af-cd)/a&0\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a&0\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{(a/(ae-bd))\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&b/a&c/a&0\\0&1&(af-cd)/(ae-bd)&0\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a&0\end{array}}\right)\end{array}}$
(假設此時 $ae-bd\neq 0$ ，以便進行行消元步驟)。然後，在這些假設下，我們得到以下結果。
${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{((ah-bg)/a)\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&{\frac {b}{a}}&{\frac {c}{a}}&0\\0&1&{\frac {af-cd}{ae-bd}}&0\\0&0&{\frac {aei+bgf+cdh-hfa-idb-gec}{ae-bd}}&0\end{array}}\right)\end{array}}$
表明原始系統是非奇異的當且僅當 $3,3$ 項不為零。這個分數由於 $ae-bd\neq 0$ 的假設而定義，它將等於零當且僅當它的分子等於零。接下來我們關注這些假設。首先，如果 $a\neq 0$ 但 $ae-bd=0$ ，那麼我們將交換
${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&b/a&c/a&0\\0&0&(af-cd)/a&0\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a&0\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&b/a&c/a&0\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a&0\\0&0&(af-cd)/a&0\end{array}}\right)\end{array}}$
並得出結論，該系統是非奇異的當且僅當 $ah-bg=0$ 或 $af-cd=0$ 。這與要求它們的乘積為零是等價的
${\begin{array}{rl}ahaf-ahcd-bgaf+bgcd&=0\\ahaf-ahcd-bgaf+aegc&=0\\a(haf-hcd-bgf+egc)&=0\end{array}}$
(從第一行到第二行，我們應用了 $ae-bd=0$ 的情況假設，將 $ae$ 替換為 $bd$ ). 由於我們假設 $a\neq 0$ ，我們有 $haf-hcd-bgf+egc=0$ 。根據 $ae-bd=0$ ，我們可以將其改寫成我們需要的形式：在這種 $a\neq 0$ 和 $ae-bd=0$ 的情況下，當 $haf-hcd-bgf+egc-i(ae-bd)=0$ 時，所給出的系統是非奇異的，如所要求的。剩下的情況具有相同的特徵。對於 $a=0$ 但 $d\neq 0$ 的情況和 $a=0$ 和 $d=0$ 但 $g\neq 0$ 的情況，可以透過首先交換行，然後像上面那樣繼續進行。對於 $a=0$ ， $d=0$ 和 $g=0$ 的情況很簡單——包含零向量的集合是線性相關的，公式的結果為零。
當且僅當其中一個向量是另一個向量的倍數時，它是線性相關的。也就是說，當且僅當它不獨立時，
${\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}}=r\cdot {\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}\quad {\text{or}}\quad {\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}=s\cdot {\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}}$
(或兩者)對於某些標量 $r$ 和 $s$ 。消去 $r$ 和 $s$ 為了用給定的字母 $a$ ， $b$ ， $d$ ， $e$ ， $g$ ， $h$ 來重新表述這個條件，我們有，它不獨立——它是相關的——當且僅當 $ae-bd=ah-gb=dh-ge$ 。
依賴或獨立性是索引的函式，所以確實存在一個公式（雖然乍一看人們可能會認為公式涉及情況："如果第一個向量的第一個分量為零，那麼..."，這個猜測結果是不正確的）。

此練習推薦給所有讀者。

問題 22

證明來自 $\mathbb {R} ^{n}$ 的兩個非零垂直向量當 $n>1$ 時線性無關。
如果 $n=1$ ？ $n=0$ ？
推廣到兩個以上的向量。

答案

回顧來自 $\mathbb {R} ^{n}$ 的兩個向量是垂直的當且僅當它們的點積為零。

假設 ${\vec {v}}$ 和 ${\vec {w}}$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的互相垂直的非零向量，其中 $n>1$ 。對於線性關係 $c{\vec {v}}+d{\vec {w}}={\vec {0}}$ ，在等式兩邊同時作用 ${\vec {v}}$ 可以得出結論 $c\cdot |{\vec {v}}|^{2}+d\cdot 0=0$ 。因為 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$ ，所以 $c=0$ 。類似地，對 ${\vec {w}}$ 的類似操作可以得出 $d=0$ 。
在 $\mathbb {R} ^{1}$ 中，兩個向量互相垂直當且僅當其中至少一個為零向量。我們定義 $\mathbb {R} ^{0}$ 為一個平凡空間，因此 ${\vec {v}}$ 和 ${\vec {w}}$ 均為零向量。
正確的概括是檢視一組向量 $\{{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}\}\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ ，這些向量是互相正交的（也稱為成對垂直）：如果 $i\neq j$ ，那麼 ${\vec {v}}_{i}$ 垂直於 ${\vec {v}}_{j}$ 。模仿上面第一項的證明表明，這樣一組非零向量是線性無關的。

問題 23

考慮從開區間 $(-1..1)$ 到 $\mathbb {R}$ 的函式集合。

證明該集合在通常的運算下是一個向量空間。
回顧無窮等比數列的求和公式： $1+x+x^{2}+\cdots =1/(1-x)$ 對於所有 $x\in (-1..1)$ 成立。為什麼這在集合 $\{g(x)=1/(1-x),f_{0}(x)=1,f_{1}(x)=x,f_{2}(x)=x^{2},\ldots \}$ （在我們考慮的向量空間中）內部沒有表達出依賴關係？ (提示：回顧線性組合的定義)。
證明上一項中的集合是線性無關的。

這表明一些向量空間存在具有無限線性無關子集。

答案

此檢查是例行公事。
求和是無限的（有無限多個求和項）。線性組合的定義只涉及有限求和。
沒有 $\{g,f_{0},f_{1},\ldots \}$ 成員的非平凡有限和加起來等於零物件：假設
$c_{0}\cdot (1/(1-x))+c_{1}\cdot 1+\dots +c_{n}\cdot x^{n}=0$
（任何有限求和都使用最高冪，這裡為 $n$ ）。兩邊都乘以 $1-x$ 可以得出每個係數都為零，因為多項式只有當它是零多項式時才能描述零函式。

問題 24

證明，當 $S$ 是 $V$ 的子空間時，如果 $S$ 的子集 $T$ 在 $S$ 中線性無關，那麼 $T$ 在 $V$ 中也是線性無關的。這是“當且僅當”嗎？

答案

它是“當”和“僅當”。

令 $T$ 是向量空間 $V$ 的子空間 $S$ 的子集。關於 $T$ 成員之間的任何線性關係 $c_{1}{\vec {t}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {t}}_{n}={\vec {0}}$ 必須是平凡的關係 $c_{1}=0$ ，...， $c_{n}=0$ 這一斷言在 $S$ 中成立當且僅當它在 $V$ 中成立，因為子空間 $S$ 從 $V$ 中繼承了它的加法和標量乘法運算。