線性代數/向量空間的定義和示例/解答

解答

問題 1

為每個向量空間命名零向量。

1. 在自然運算下三階多項式空間
2. 空間 $2\!\times \!4$ 矩陣
3. 空間 $\{f:[0,1]\to \mathbb {R} \,{\big |}\,f{\text{ is continuous}}\}$
4. 一個自然數變數的實值函式空間

答案

1. $0+0x+0x^{2}+0x^{3}$
2. ${\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$
3. 常數函式 $f(x)=0$
4. 常數函式 $f(n)=0$

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問題 2

在向量空間中找出向量的加法逆。

1. 在 ${\mathcal {P}}_{3}$ 中，向量 $-3-2x+x^{2}$。
2. 在空間 $2\!\times \!2$ 中，

   ${\begin{pmatrix}1&-1\\0&3\end{pmatrix}}.$

3. 在 $\{ae^{x}+be^{-x}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 中，實數變數 $x$ 的函式空間，在自然運算下，向量 $3e^{x}-2e^{-x}$。

答案

1. $3+2x-x^{2}$
2. ${\begin{pmatrix}-1&+1\\0&-3\end{pmatrix}}$
3. $-3e^{x}+2e^{-x}$

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問題 3

證明以下集合都是向量空間。

1. 在通常的多項式加法和標量乘法運算下，線性多項式集合 ${\mathcal {P}}_{1}=\{a_{0}+a_{1}x\,{\big |}\,a_{0},a_{1}\in \mathbb {R} \}$。
2. 在通常的矩陣運算下，實數元素的 $2\!\times \!2$ 矩陣集合。
3. 帶有通常運算的三分量行向量集合。
4. 集合

   $L=\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{4}\,{\big |}\,x+y-z+w=0\}$

   在從 $\mathbb {R} ^{4}$ 繼承的運算下。

答案

大多數條件很容易驗證；可以參考 示例 1.3。以下是幾點評論。

1. 這與 示例 1.3 類似；零元素是 $0+0x$。
2. 該空間的零元素是 $2\!\times \!2$ 零矩陣。
3. 零元素是零向量。
4. 加法封閉性涉及到注意和

   ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\\w_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\\w_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\\w_{1}+w_{2}\end{pmatrix}}$

   在 $L$ 中，因為 $(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})+(w_{1}+w_{2})=(x_{1}+y_{1}-z_{1}+w_{1})+(x_{2}+y_{2}-z_{2}+w_{2})=0+0$。標量乘法的封閉性類似。注意零元素，即零向量，在 $L$ 中。

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問題 4

證明以下集合不是向量空間。（提示：從列出每個集合的兩個成員開始。）

1. 在從 $\mathbb {R} ^{3}$ 繼承的操作下，該集合

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,{\big |}\,x+y+z=1\}$

2. 在從 $\mathbb {R} ^{3}$ 繼承的操作下，該集合

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,{\big |}\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$

3. 在通常的矩陣運算下，

   $\{{\begin{pmatrix}a&1\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b,c\in \mathbb {R} \}$

4. 在通常的多項式運算下，

   $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{0},a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} ^{+}\}$

   其中 $\mathbb {R} ^{+}$ 是大於零的實數集合
5. 在繼承的操作下，

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}\,{\big |}\,x+3y=4{\text{ and }}2x-y=3{\text{ and }}6x+4y=10\}$

答案

在每個條目中，該集合被稱為 $Q$。對於一些條目，還有其他正確的方法來證明 $Q$ 不是向量空間。

1. 它在加法下不封閉；它不滿足條件 1。

   ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\in Q\qquad {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\not \in Q$

2. 它在加法下不封閉。

   ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\in Q\qquad {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\not \in Q$

3. 它在加法下不封閉。

   ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}\in Q\qquad {\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}}\not \in Q$

4. 它在標量乘法下不封閉。

   $1+1x+1x^{2}\in Q\qquad -1\cdot (1+1x+1x^{2})\not \in Q$

5. 它是空的，違反條件 4。

問題 5

定義加法和標量乘法運算，使複數成為 $\mathbb {R}$ 上的向量空間。

答案

通常的運算 $(v_{0}+v_{1}i)+(w_{0}+w_{1}i)=(v_{0}+w_{0})+(v_{1}+w_{1})i$ 和 $r(v_{0}+v_{1}i)=(rv_{0})+(rv_{1})i$ 就足夠了。檢查很容易。

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問題 6

在通常的加法和標量乘法運算下，有理數集是 $\mathbb {R}$ 上的向量空間嗎？

答案

不，它在標量乘法下不封閉，例如，$\pi \cdot 1$ 不是有理數。

問題 7

證明變數 $x,y,z$ 的線性組合的集合在自然加法和標量乘法運算下是一個向量空間。

答案

自然運算為 $(v_{1}x+v_{2}y+v_{3}z)+(w_{1}x+w_{2}y+w_{3}z)=(v_{1}+w_{1})x+(v_{2}+w_{2})y+(v_{3}+w_{3})z$ 和 $r\cdot (v_{1}x+v_{2}y+v_{3}z)=(rv_{1})x+(rv_{2})y+(rv_{3})z$。檢查它是否是向量空間很容易；以 示例 1.3 作為指南。

問題 8

證明這不是一個向量空間：具有實數項的雙高列向量集，服從這些運算。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}-x_{2}\\y_{1}-y_{2}\end{pmatrix}}\qquad r\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\end{pmatrix}}$

答案

“$+$”運算不滿足交換律（即，條件 2 不滿足）；生成兩個見證此斷言的集合成員很容易。

問題 9

證明或反駁 $\mathbb {R} ^{3}$ 在這些運算下是一個向量空間。

1. ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\\rz\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

答案

1. 這不是一個向量空間。

   $(1+1)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

2. 這不是一個向量空間。

   $1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

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問題 10

對於每個，判斷它是否為向量空間；預期的運算為自然運算。

1. 對角 $2\!\times \!2$ 矩陣

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$

2. 這組 $2\!\times \!2$ 矩陣

   $\{{\begin{pmatrix}x&x+y\\x+y&y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$

3. 這組

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{4}\,{\big |}\,x+y+z+w=1\}$

4. 函式集 $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,df/dx+2f=0\}$
5. 函式集 $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,df/dx+2f=1\}$

答案

對於每個“是”答案，你必須檢查向量空間定義中給出的所有條件。對於每個“否”答案，請給出違反其中一個條件的具體示例。

1. 是。
2. 是。
3. 否，它在加法下不封閉。所有 $1/4$'s 的向量，當加到它本身時，就會產生一個非成員。
4. 是。
5. 否，$f(x)=e^{-2x}+(1/2)$ 在這個集合中，但是 $2\cdot f$ 不在（即，條件 6 失敗）。

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問題 11

證明或反駁，這是一個向量空間：實值函式 $f$ 的單個實變數，使得 $f(7)=0$。

答案

這是一個向量空間。向量空間定義中的大多數條件都是常規的；我們這裡只檢查封閉性。對於加法，$(f_{1}+f_{2})\,(7)=f_{1}(7)+f_{2}(7)=0+0=0$。對於標量乘法，$(r\cdot f)\,(7)=rf(7)=r0=0$。

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問題 12

證明集合 $\mathbb {R} ^{+}$ 的正實數，當 "$x+y$" 被解釋為 $x$ 和 $y$ 的乘積（因此 $2+3$ 是 $6$），並且 "$r\cdot x$" 被解釋為 $x$ 的 $r$ 次方。

答案

我們檢查 定義 1.1。

首先，在“$+$" 下的封閉性成立，因為兩個正實數的乘積是正實數。第二個條件滿足，因為實數乘法是可交換的。類似地，由於實數乘法滿足結合律，所以第三個條件也成立。對於第四個條件，觀察到將一個數乘以 $1\in \mathbb {R} ^{+}$ 不會改變該數。第五，任何正實數都有一個倒數，該倒數也是正實數。

第六，在“$\cdot$" 下的封閉性成立，因為任何正實數的冪都是正實數。第七個條件只是 $v^{r+s}$ 等於 $v^{r}$ 和 $v^{s}$ 的乘積的規則。第八個條件表明 $(vw)^{r}=v^{r}w^{r}$。第九個條件斷言 $(v^{r})^{s}=v^{rs}$。最後一個條件表明 $v^{1}=v$。

問題 13

在這些運算下，$\{(x,y)\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$ 是向量空間嗎？

1. $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ 和 $r\cdot (x,y)=(rx,y)$
2. $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ 和 $r\cdot (x,y)=(rx,0)$

答案

1. 不：$1\cdot (0,1)+1\cdot (0,1)\neq (1+1)\cdot (0,1)$。
2. 不；與之前答案相同的計算顯示了違反向量空間定義中的一個條件。另一個違反向量空間條件的例子是$1\cdot (0,1)\neq (0,1)$.

問題 14

證明或反證：度數大於或等於 2 的多項式集合，加上零多項式，是否是一個向量空間。

答案

它不是一個向量空間，因為它在加法下不封閉，因為$(x^{2})+(1+x-x^{2})$ 不在這個集合中。

問題 15

此時“相同”只是一個直覺，但對於每個向量空間，仍然需要確定$k$，使得該空間與$\mathbb {R} ^{k}$ “相同”。

1. 在通常運算下，$2\!\times \!3$ 矩陣
2. 在通常運算下，$n\!\times \!m$ 矩陣
3. 這組 $2\!\times \!2$ 矩陣

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b,c\in \mathbb {R} \}$

4. 這組 $2\!\times \!2$ 矩陣

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b+c=0\}$

答案

1. $6$
2. $nm$
3. $3$
4. 要看到答案是$2$，將其改寫為

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&-a-b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$

   因此有兩個引數。

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問題 16

使用${\vec {+}}$ 表示向量加法，使用$\,{\vec {\cdot }}\,$ 表示標量乘法，重新說明向量空間的定義。

答案

一個向量空間（在$\mathbb {R}$上）由一個集合$V$以及兩個運算"${\mathbin {\vec {+}}}$" 和 "${\mathbin {\vec {\cdot }}}$" 組成，這些運算滿足以下條件。其中${\vec {v}},{\vec {w}}\in V$,

1. 它們的向量和 ${\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {w}}$是$V$中的一個元素。如果${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in V$，那麼
2. ${\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {w}}={\vec {w}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {v}}$，並且
3. $({\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {w}}){\mathbin {\vec {+}}}{\vec {u}}={\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}({\vec {w}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {u}})$.
4. 存在一個**零向量** ${\vec {0}}\in V$，使得對於所有 ${\vec {v}}\in V$ 都有 ${\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {0}}={\vec {v}}\,$。
5. 每個 ${\vec {v}}\in V$ 都有一個**加法逆元** ${\vec {w}}\in V$，使得 ${\vec {w}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {v}}={\vec {0}}$。如果 $r,s$ 是**標量**，也就是說，它們是 $\mathbb {R}$ 的成員，並且 ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V$，那麼
6. 每個**標量倍數** $r\cdot {\vec {v}}$ 都在 $V$ 中。如果 $r,s\in \mathbb {R}$ 並且 ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V$，那麼
7. $(r+s)\cdot {\vec {v}}=r\cdot {\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}s\cdot {\vec {v}}$，並且
8. $r{\mathbin {\vec {\cdot }}}({\vec {v}}+{\vec {w}})=r{\mathbin {\vec {\cdot }}}{\vec {v}}+r{\mathbin {\vec {\cdot }}}{\vec {w}}$，以及
9. $(rs){\mathbin {\vec {\cdot }}}{\vec {v}}=r{\mathbin {\vec {\cdot }}}(s{\mathbin {\vec {\cdot }}}{\vec {v}})$，以及
10. $1{\mathbin {\vec {\cdot }}}{\vec {v}}={\vec {v}}$.

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問題 17

證明這些。

1. 任何向量都是其自身加法逆元的加法逆元。
2. 向量加法左消去：如果 ${\vec {v}},{\vec {s}},{\vec {t}}\in V$，那麼 ${\vec {v}}+{\vec {s}}={\vec {v}}+{\vec {t}}\,$ 意味著 ${\vec {s}}={\vec {t}}$。

答案

1. 設 $V$ 是一個向量空間，假設 ${\vec {v}}\in V$，並且假設 ${\vec {w}}\in V$ 是 ${\vec {v}}$ 的加法逆元，使得 ${\vec {w}}+{\vec {v}}={\vec {0}}$。由於加法滿足交換律，所以 ${\vec {0}}={\vec {w}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {w}}$，因此 ${\vec {v}}$ 也是 ${\vec {w}}$ 的加法逆元。
2. 令 $V$ 為向量空間，並假設 ${\vec {v}},{\vec {s}},{\vec {t}}\in V$。${\vec {v}}$ 的加法逆元是 $-{\vec {v}}$，因此 ${\vec {v}}+{\vec {s}}={\vec {v}}+{\vec {t}}$ 意味著 $-{\vec {v}}+{\vec {v}}+{\vec {s}}=-{\vec {v}}+{\vec {v}}+{\vec {t}}$，這意味著 ${\vec {0}}+{\vec {s}}={\vec {0}}+{\vec {t}}$，因此 ${\vec {s}}={\vec {t}}$。

問題 18

向量空間的定義沒有明確說明 ${\vec {0}}+{\vec {v}}={\vec {v}}$（它只說明 ${\vec {v}}+{\vec {0}}={\vec {v}}$）。證明或反駁它在任何向量空間中都必須成立。

答案

加法是可交換的，因此在任何向量空間中，對於任何向量 ${\vec {v}}$，我們有 ${\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {0}}={\vec {0}}+{\vec {v}}$。

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問題 19

證明或反駁，這是一個向量空間：所有矩陣的集合，在通常的操作下。

答案

它不是向量空間，因為大小不相同的兩個矩陣的加法沒有定義，因此該集合不滿足封閉條件。

問題 20

在向量空間中，每個元素都有一個加法逆元。一些元素可以有兩個或多個嗎？

答案

向量空間的每個元素只有一個加法逆元。

令 $V$ 為向量空間，假設 ${\vec {v}}\in V$。如果 ${\vec {w}}_{1},{\vec {w}}_{2}\in V$ 都是 ${\vec {v}}$ 的加法逆元，那麼考慮 ${\vec {w}}_{1}+{\vec {v}}+{\vec {w}}_{2}$。一方面，我們有它等於 ${\vec {w}}_{1}+({\vec {v}}+{\vec {w}}_{2})={\vec {w}}_{1}+{\vec {0}}={\vec {w}}_{1}$。另一方面，我們有它等於 $({\vec {w}}_{1}+{\vec {v}})+{\vec {w}}_{2}={\vec {0}}+{\vec {w}}_{2}={\vec {w}}_{2}$。因此，${\vec {w}}_{1}={\vec {w}}_{2}$.

問題 21

1. 證明 $\mathbb {R} ^{3}$ 中經過原點的每一點、直線或平面在繼承的運算下都是向量空間。
2. 如果它不包含原點呢？

答案

1. 每個這樣的集合都具有如下形式$\{r\cdot {\vec {v}}+s\cdot {\vec {w}}\,{\big |}\,r,s\in \mathbb {R} \}$，其中${\vec {v}},{\vec {w}}$ 可以是${\vec {0}}$ 中的一個或兩個。繼承的運算，加法的封閉性$(r_{1}{\vec {v}}+s_{1}{\vec {w}})+(r_{2}{\vec {v}}+s_{2}{\vec {w}})=(r_{1}+r_{2}){\vec {v}}+(s_{1}+s_{2}){\vec {w}}$ 和標量乘法$c(r{\vec {v}}+s{\vec {w}})=(cr){\vec {v}}+(cs){\vec {w}}$ 很容易驗證。其他條件也是常規的。
2. 在繼承的運算下，這樣的集合不能構成向量空間，因為它沒有零元素。

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問題 22

利用向量空間的概念，我們可以很容易地重新證明齊次線性方程組的解集要麼只有一個元素，要麼有無窮多個元素。假設${\vec {v}}\in V$ 不是${\vec {0}}$。

1. 證明$r\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$ 當且僅當 $r=0$。
2. 證明$r_{1}\cdot {\vec {v}}=r_{2}\cdot {\vec {v}}$ 當且僅當 $r_{1}=r_{2}$。
3. 證明任何非平凡向量空間都是無限的。
4. 利用非空齊次線性方程組的解集是一個向量空間這一事實得出結論。

答案

假設 ${\vec {v}}\in V$ 不是 ${\vec {0}}$.

1. 如果且僅如果的一個方向很明顯：如果 $r=0$，那麼 $r\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$。另一方面，設 $r$ 是一個非零標量。如果 $r{\vec {v}}={\vec {0}}$，那麼 $1\cdot {\vec {v}}=(r/r)\cdot {\vec {v}}=(1/r)\cdot r{\vec {v}}=(1/r)\cdot {\vec {0}}$ 表明 ${\vec {v}}={\vec {0}}$，與假設相矛盾。
2. 其中 $r_{1},r_{2}$ 是標量，$r_{1}{\vec {v}}=r_{2}{\vec {v}}\,$ 成立，當且僅當 $(r_{1}-r_{2}){\vec {v}}={\vec {0}}$。根據上一條，那麼 $r_{1}-r_{2}=0$.
3. 非平凡空間有一個向量 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$。考慮集合 $\{k\cdot {\vec {v}}\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$。根據上一條，此集合是無限的。
4. 解集要麼是平凡的，要麼是非平凡的。在第二種情況下，它是無限的。

問題 23

在自然運算下，這是否是一個向量空間：一個實變數的實值函式，這些函式是可微的？

答案

是的。一元微積分的第一個學期定理指出，可微函式的和是可微的，並且$(f+g)^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$，並且可微函式的倍數是可微的，並且$(r\cdot f)^{\prime }=r\,f^{\prime }$.

問題 24

複數上的向量空間 $\mathbb {C}$ 的定義與實數上的向量空間相同，只是標量是從 $\mathbb {C}$ 中獲取的，而不是從 $\mathbb {R}$ 中獲取的。證明以下每個都是複數上的向量空間。(回憶複數的加法和乘法：$(a_{0}+a_{1}i)+(b_{0}+b_{1}i)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})i$ 並且 $(a_{0}+a_{1}i)(b_{0}+b_{1}i)=(a_{0}b_{0}-a_{1}b_{1})+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})i$.)

1. 具有復係數的二次多項式集合
2. 這組

   $\{{\begin{pmatrix}0&a\\b&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {C} {\text{ and }}a+b=0+0i\}$

答案

檢查是例行的。注意“1”是 $1+0i$，零元素是這些。

1. $(0+0i)+(0+0i)x+(0+0i)x^{2}$
2. ${\begin{pmatrix}0+0i&0+0i\\0+0i&0+0i\end{pmatrix}}$

問題 25

命名一個所有 $\mathbb {R} ^{n}$'s 共有的性質，但它未被列為向量空間的要求。

答案

值得注意的是，向量空間的定義中沒有距離度量。

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問題 26

1. 證明四個向量 ${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{4}\in V$ 的總和可以透過任何方式進行組合，而不會改變結果。

   ${\begin{array}{rl}(({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4}&=({\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}))+{\vec {v}}_{4}\\&=({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4})\\&={\vec {v}}_{1}+(({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4})\\&={\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4}))\end{array}}$

   這使我們能夠簡單地寫成 "${\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4}$"，而不會產生歧義。
2. 證明任意兩個組合任意數量向量的總和的方式都會得到相同的總和。（提示：對向量數量使用歸納法。）

答案

1. 只需要進行一個小小的重排即可解決。

   ${\begin{array}{rl}({\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}))+{\vec {v}}_{4}&=(({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4}\\&=({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4})\\&={\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4}))\\&={\vec {v}}_{1}+(({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4})\end{array}}$

   上述每個等式都源於向量空間定義中給定的三個向量的結合律。例如，第二個 "$=$" 應用了規則 $({\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2})+{\vec {w}}_{3}={\vec {w}}_{1}+({\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{3})$，透過將 ${\vec {w}}_{1}$ 取為 ${\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}$，將 ${\vec {w}}_{2}$ 取為 ${\vec {v}}_{3}$，將 ${\vec {w}}_{3}$ 取為 ${\vec {v}}_{4}$.
2. 歸納法的基本情況是三個向量的情況。這種情況 ${\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3})=({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+{\vec {v}}_{3}$ 是向量空間定義對任何三個向量所要求的。對於歸納步驟，假設任何兩個三個向量的和、任何兩個四個向量的和、……、任何兩個 $k$ 個向量的和，無論如何加括號，都是相等的。我們將證明任何 $k+1$ 個向量的和都等於這個 $((\cdots (({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+{\vec {v}}_{3})+\cdots )+{\vec {v}}_{k})+{\vec {v}}_{k+1}$。任何加括號的和都有一個最外層的 "$+$"。假設它位於 ${\vec {v}}_{m}$ 和 ${\vec {v}}_{m+1}$ 之間，所以這個和看起來像這樣。

   $(\cdots \,({\vec {v}}_{1}+(\cdots +{\vec {v}}_{m}))\,\cdots )+(\cdots \,({\vec {v}}_{m+1}+(\cdots +{\vec {v}}_{k+1}))\,\cdots )$

   後半部分涉及少於 $k+1$ 次加法，所以根據歸納假設，我們可以重新加括號使其從內到外從左到右讀取，特別是，使其最外層的 "$+$" 出現在 ${\vec {v}}_{k+1}$ 之前。

   $=(\cdots \,({\vec {v}}_{1}+(\,\cdots \,+{\vec {v}}_{m}))\,\cdots )+(\cdots ({\vec {v}}_{m+1}+(\cdots +{\vec {v}}_{k})\cdots )+{\vec {v}}_{k+1})$

   應用三項和的結合律

   $=((\,\cdots \,({\vec {v}}_{1}+(\cdots +{\vec {v}}_{m})\,\cdots \,)+(\,\cdots \,({\vec {v}}_{m+1}+(\cdots \,{\vec {v}}_{k}))\cdots )+{\vec {v}}_{k+1}$

   最後，在這些最外層的括號內應用歸納假設。

問題 27

對於任何向量空間，一個自身在繼承運算下是向量空間的子集（例如，在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的原點平面）是一個子空間。

1. 證明 $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{0}+a_{1}+a_{2}=0\}$ 是二次多項式向量空間的子空間。
2. 證明這是 $2\!\times \!2$ 矩陣的子空間。

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=0\}$

3. 證明實向量空間的非空子集 $S$ 是子空間當且僅當它在向量對的線性組合下是封閉的：只要 $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$ 且 ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$，則組合 $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}$ 屬於 $S$。

答案

1. 我們概述了從定義 1.1 檢查條件。由於如果$a_{0}+a_{1}+a_{2}=0$ 並且 $b_{0}+b_{1}+b_{2}=0$，則

   $(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})+(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2})=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}$

   在集合中，因為 $(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})=(a_{0}+a_{1}+a_{2})+(b_{0}+b_{1}+b_{2})$ 為零。第二個到第五個條件很容易。標量乘法的封閉性成立，因為如果 $a_{0}+a_{1}+a_{2}=0$，則

   $r\cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})=(ra_{0})+(ra_{1})x+(ra_{2})x^{2}$

   在集合中，因為 $ra_{0}+ra_{1}+ra_{2}=r(a_{0}+a_{1}+a_{2})$ 為零。這裡剩下的條件也很容易。
2. 這與前面的答案類似。
3. Call the vector space $V$. We have two implications: left to right, if $S$ is a subspace then it is closed under linear combinations of pairs of vectors and, right to left, if a nonempty subset is closed under linear combinations of pairs of vectors then it is a subspace. The left to right implication is easy; we here sketch the other one by assuming $S$ is nonempty and closed, and checking the conditions of Definition 1.1. First, to show closure under addition, if ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$ then ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}\in S$ as ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}=1\cdot {\vec {s}}_{1}+1\cdot {\vec {s}}_{2}$. Second, for any ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$, because addition is inherited from $V$, the sum ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}$ in $S$ equals the sum ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}$ in $V$ and that equals the sum ${\vec {s}}_{2}+{\vec {s}}_{1}$ in $V$ and that in turn equals the sum ${\vec {s}}_{2}+{\vec {s}}_{1}$ in $S$. The argument for the third condition is similar to that for the second. For the fourth, suppose that ${\vec {s}}$ is in the nonempty set $S$ and note that $0\cdot {\vec {s}}={\vec {0}}\in S$; showing that the ${\vec {0}}$ of $V$ acts under the inherited operations as the additive identity of $S$ is easy. The fifth condition is satisfied because for any ${\vec {s}}\in S$ closure under linear combinations shows that the vector $0\cdot {\vec {0}}+(-1)\cdot {\vec {s}}$ is in $S$; showing that it is the additive inverse of ${\vec {s}}$ under the inherited operations is routine. The proofs for the remaining conditions are similar.