結合代數/超越正規化

在圓的古代幾何學中，地平線上方角度和恆星高度之間的關係被稱為正弦函式。雖然是圓的性質的一部分，但它不是代數函式，因為無法用有限的加法、減法、乘法、除法、冪或根序列表示。因此它被稱為超越函式。將這個函式“正弦”邀請到代數操作的禮貌社交圈需要一項根本性的創新：一個常數“底”b > 0 乘以一個變數指數： $y=b^{x}.$ 這一創新由萊昂哈德·尤拉在他的無窮分析導論（1748）中使用。但導致這一發展的研究歸功於三位耶穌會士：格雷戈裡·德·聖文森特、A. A. 德·薩拉薩和馬林·梅森，他們在上個世紀致力於這項研究。他們解決了古代的求積問題，即雙曲線的求積，自阿基米德在幾千年前證明了拋物線的求積以來，這是一個突出的問題。

首先考慮一個單位正方形面積。然後考慮那些面積與正方形相同的矩形。如果x 和y 是這樣的矩形的邊，則y = 1/x 的圖形表示矩形{(0,0), (x,0), (0, 1/x), (x, 1/x)}。x = y = 1 的矩形是單位正方形s。現在假設b > a > 1 且 (b, 1/b) 是矩形h 的角，而 (a, 1/a) 是矩形g 的角。這些矩形可以被視為彼此的擠壓形式：h 是被a 擠壓的s，g 是被b 擠壓的s。然後h 可以透過a⁻¹ 重新膨脹到s，因此g 是透過用a⁻¹b 擠壓h 獲得的。

擠壓操作對應於一個正實數p > 0。通常情況下，擠壓被視為p > 1，因此x 擴充套件而y 收縮，同時面積保持不變。這種面積保持不變的性質，稱為等面積對映，將擠壓與平移、旋轉和剪下對映聯絡起來，這些對映共享這一性質。擠壓不是經典運動學的一部分，但出現在狹義相對論中，作為光速有限性暴露了經典速度向量加法的非線性之後對速度的重新線性化。

注意雙曲線xy = 1 的對稱軸 L：x = y。雙曲線上的一點 (x, 1/x) 確定了一個雙曲扇形 S(1,x)，由 L、雙曲線和從 (0,0) 到該點的直線限定。從該點到 L 的垂直投影建立了雙曲正弦 sinh v，其中v 是扇形 S(1,x) 的面積，通常稱為雙曲角。投影的足點透過從 (0,0) 到足點的對角線的長度確定 cosh v。根據面積為 2π 的圓，sinh 和 cosh 被 √2 的因子歸一化。

無窮級數

萊昂哈德·尤拉提供了無窮級數作為進入超越函式的途徑

f(x)\ =\ \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\ .

看看當 f 被要求是它自身的導數時會發生什麼：第 n 項的導數是

n\ a_{n}\ x^{n-1},\ {\text{so}}\ f\ =\ f^{\prime }\ {\text{implies}}\ a_{n-1}\ =\ na_{n}\ {\text{and}}\ \ a_{n}=a_{n-1}/n.

給定 a₀， $a_{n}\ =\ a_{0}/n!$ ，其中 n! 是階乘。取 a₀ = 1。現在 $f(1)=\sum _{n=0}^{\infty }1/n!$ ，尤拉計算得出結果為 2.71828…，現在被指定為數學常數 e。

函式 f 被稱為指數函式

f(x)\ =\ \exp(x)=e^{x}\ =\ \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}/n!.

尤拉還將該和式分解為偶數項和奇數項： $e^{x}\ =\ \cosh x+\sinh x,$ ，其中 cosh 取偶數項，sinh 取奇數項。以下引理將在稍後需要。

引理： $\cosh 2x=\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x.$

證明：e^−x 的奇數項變為負數，所以在

\cosh x=(e^{x}+e^{-x})/2

中抵消，並在

\sinh x=(e^{x}-e^{-x})/2.

中相加。

現在對引理的右側平方並相加，得到 $(e^{2x}+e^{-2x})/2\ =\ \cosh 2x.$

練習

使用尤拉公式證明正弦和餘弦具有交替級數。
使用無窮級數，證明 $\ \forall x\in R,\ \cos(ix)=\cosh x\ {\text{and}}\ \sin(ix)=i\sinh x.$
交換面積為 1/2 的三角形以證明雙曲線扇形與雙曲線下方且緊靠其漸近線的凹陷梯形具有相同的面積。
將擠壓對映稱為“雙曲旋轉”的優缺點是什麼？

示例

以下給出了 AC 代數的一個示例：設 A = (R², xy) 為實平面，具有二次型 xy。此外，設 A 配備逐分量加法和乘法，使其成為實代數。在這種情況下，用 N(x,y) = xy 表示。然後

N(x_{1},y_{1})N(x_{2},y_{2})=(x_{1}y_{1})(x_{2}y_{2})=x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}=N((x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})).

因此，據說 N 在 A 中的乘法上複合，A 可以稱為複合代數。但是，在這本書中，AC 代數具有一個稱為共軛的對合，用 x* 表示，用於透過 N(x) = x x* 定義 N。儘管如此，上面構造的代數 A 與下一章中描述的分割二元數密切相關。分割二元數是 A 的歸一化形式，其中乘法單位與原點之間的距離為單位距離，並且它與複數域 C 具有某些形式對應關係。在 A 中，二次型可以解釋為權重，因此使二次型保持不變的變換是等壓變換，這是 1999 年由彼得·奧爾弗（《經典不變式理論》，第 217 頁）用來描述擠壓對映的名稱。

範疇論處理

在 Guy Roos 在美國數學學會出版的一部更大的著作（ISBN 978-0-8218-4459-5）中收錄的論文“Cayley 代數”中，他提出了一系列練習，這些練習給出了合成代數的範疇表達。假設 A 是域 K 上的合成代數，因此它有一個範數 n: A → K，並且對於 A 中的任何 a、b，都有 n(ab) = n(a) n(b)。合成代數有時是非交換的，因此假設 A 有非交換的乘法，儘管加法運算則是交換的。這些練習最終表明，合成代數是可換代數。這個性質與三個全稱量詞的結合律命題 a(bc)=(ab)c 相關，不同之處在於，可換代數只滿足兩個量詞，這意味著表示式中 a=b 或 b=c。特別是，當 $ab^{2}=(ab)b\ \ {\text{and}}\ \ a^{2}b=(ab)b,$ 時，該代數就是可換的。

Roos 練習

定義：(a:b) = n(a+b) – n(a) – n(b)

2(ab:ab) = (a:a)(b:b)
(ac:ad) = n(a)(c:d)
(ac:bc) = (a:b) n(c)
(ac:bd) + (ad:bc) = (a:b)(c:d)
(aa:d) + n(a)(d:1) = (a:1)(a:d)
(aa – (a:1)a + n(a)1 : d) = 0
aa – (a:1)a + n(a) = 0

定義：元素 a 的跡為 t(a) = (a:1)

作為單位代數，1 在 A 中，並且 A 作為線性空間具有基底。將 e = 1e 寫為與乘法單位 1（在口頭交流中）相關的基底元素。

定義：a 的共軛為 a* = (a:e)e – a。

(a*)* = a 且 n(a*) = n(a)
a + a* = t(a)
n(a) = a a*
(a:b) = (a*:b*)
(ac:d) + (ad:c) = ((a:1)c : d)
(ad:c) + (a*c : d)
(da:c) = (ca*:d)
(ax:y) = (x:a*y) 且 (xa:y) = (x:ya*)
(ab:1) = (a:b*) = (ba:1)，因此 t(ab) = t(ba)
t((ab)c) = (ab:c*) = (a:c* b*) = (ca :b*) = t((ca)b)
t((ab)c) = t(ca)b) = t(bc)a) = t(a(bc))
(ab)* = b*a*
- 對於任何 c，((ab)* :c) = (ab:c*) = (ca:b*) = (c:b*a*)
(a:b)c = b*(ac) + a*(bc)
- 對於任何 d，(a:b)(c:d) = (b*(ac):d) + (a*(bc): d)
(a:b)c = (ca)b* + (cb)a*
n(a)c = a*(ac) = (ca)a*
(a*a)c = a*(ac) 且 a+a* 在 K 中意味著 a²c = a(ac)
(ca)a = ca²

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