幾何/統一角度

將區域的面積作為原始概念，三種角度都得到了一個共同的基礎。斜率、雙曲線或圓角的大小由相應扇形的面積決定。

預覽：從軌跡到群

給定一個三角形的底，如果三角形的面積保持不變，則頂點的軌跡是什麼？答案，一條平行於底部的線，是歐幾里得幾何學的特徵。這個經典的影像描述已經轉化為群論，它有自己的術語。此外，用解析幾何，這個影像可以用線性代數表示為剪下對映。剪下對映的集合形成一個單引數群，在本例中，它是一個表達群作用的變換群。

另一個影像是在笛卡爾平面上的矩形 {(0,0), (x,0), (0,y), (x,y)}。如果矩形要保持恆定面積，則 (x,y) 的軌跡是什麼？由 xy = 常數給出的曲線稱為矩形雙曲線。在本例中，對於 c > 0，擠壓對映 (x,y) → ( c x, y/c ) 會置換雙曲線 - 變換後的矩形面積與變換前的面積相同。擠壓對映的集合形成一個群，其元素對應於 c。應用於整個平面，擠壓是一個群作用。這是一個另一個單引數群。

引言

雙曲線角度有點晦澀，但在華夏公益教科書微積分中有所描述。這章《幾何》將闡明它與圓角度的聯絡，後者是自亞歷山大以來從零度到 360 度的測量角度。w:羅伯特·鮑德溫·海沃德在 1892 年注意到圓函式和雙曲線函式之間的類比，這些類比是由相應的扇形決定的。

這裡的統一要求斜率差作為第三種角度。可以使用短語“弧角”來進行統一，因為雙曲線弧和圓弧出現，線段作為第三種角度的“弧”。弧也暗示著沿著弧的運動，例如圓弧繞其中心旋轉，置換擴充套件弧的點。這些運動可以用行列式為 1 的 2x2 實矩陣來描述。有一些關於群論的參考：角度的加法群對應於指數同構下的乘法群。群中的除法對應於角度的減法。使用標準定位，差異表示有向角。例如，兩個相反方向的角度由指數函式對映到乘法逆。

有符號面積

傳統上，圓弧的測量是其長度與半徑的比率，但在這裡，我們使用扇形的面積，當半徑的平方為二，或 r = √ 2 時。然後圓周變成一個弧，其測量值為 π r² = 2π。分數扇區具有比例面積，並給出相應的圓弧角。w:亞歷山大·麥克斯韋在他 1894 年關於三角函式定義的文章（第 9 頁）中表達了弧角應該用面積比率來測量的觀點：“三角函式的真實解析論證不是弧與半徑的比率，而是扇形面積的兩倍與半徑平方的比率。”

對應於自然對數的雙曲線扇區根據 x 大於或小於 1 而構造。面積為 1/2 的可變直角三角形是 $V=\{(x,1/x),\ (x,0),\ (0,0)\}.$ 等腰情況是 $T=\{(1,1),\ (1,0),\ (0,0)\}.$ 自然對數被稱為 y = 1/x 在一和 x 之間的曲線下面積。正雙曲線角由 $\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}+T-V.$ 給出。負雙曲線角由面積的負值給出 $\int _{x}^{1}{\frac {dt}{t}}+V-T.$ 這與 x 在 (0,1) 中的負自然對數相一致。由於 T 和 V 的面積都是 1/2，它們的差為零，因此雙曲線角由自然對數給出。

第三種角度很容易用斜率來描述。點 (x,y)，x>0，確定一個斜率 m=y/x，並表示 x 軸和從原點到 (x,y) 的射線之間的角度。由 x 軸、斜率 m 線和 x= √2 形成的三角形面積為 m：A=(1/2)(√2)(m √2)。對於 x=√2 上的任何兩點，原點的角度大小等於由指向這些點的射線形成的面積。

對於這個角度，弧是線段，可以作為三角形的底。歐幾里得幾何學的一個經典定理是：“如果給定三角形的底和麵積，則其頂點的軌跡是一條平行於底部的直線。”（參見羅伯特·波茨 (1865) 《歐幾里得幾何原本》，第 285 頁。）

運動

每種角度都具有平面運動，該運動會移動它，但保持其大小不變。由於旋轉保持長度不變，面積也保持不變，因此圓角的大小不會因旋轉而改變。其他角度的運動不是長度保持的，但它們是面積保持的。

在雙曲角的情況下，運動將正方形擠壓成一個面積相同的矩形。雙曲線 *y* = 1/*x* 的面積和雙曲線之間出現了一個看似矛盾的情況：取調和級數 $\{\sum _{1}^{m}{\tfrac {1}{n}}\}_{m=1}^{\infty }.$ 和式中的項變得非常小，但部分和序列沒有上限。這種發散表明雙曲線與其漸近線之間存在無限面積。

從一個 **翼** 開始，單位面積 $\int _{1}^{e}{\tfrac {dx}{x}}=\log e.$ 事實上，對於任何 *n*，在 eⁿ 和 eⁿ⁺¹ 之間都存在一個雙曲角的翼，因此翼的數量是無限的。從一個翼到另一個翼的步驟是由線性變換完成的，該變換將單位正方形擠壓成一個長為 e 高為 1/e 的矩形。*y* = 1/*x* 的這個特性是在 1647 年由 G. de Saint-Vincent 作為雙曲線求積的一個特徵提出的，它提供了自然對數的幾何表示式，這是面積的更常見表示，也與雙曲角相關聯，並且在這裡透過翼度量得到加強。

剪下對映將矩形對映到與矩形面積相同的平行四邊形。平面上的這種運動透過原點的直線的斜率增加或減少一個恆定值。這種第三類角的弧線是 x = √2 上的一段線段，隨著剪下上下移動，但以這段線段為底，頂點位於原點的三角形的面積恆定。

在 2x2 實矩陣的環 M(2,R) 中，行列式等於 1 的矩陣保留面積，並且是特殊線性群 SL(2,R) 的元素，該群形成 M(2,R) 中的一種單位球體。SL(2,R) 的三種類型的子群作為角的指數影像出現，它們也表達了每種角物種的平面運動特徵。

雖然萊昂哈德·尤拉與圓形角的對應關係相關聯，但其他角已被納入對域 *F* 上的一般線性群 GL(n, *F*) 以及群恆等式上的切向量的更一般研究中，該研究由索菲斯·李發起。實際上，1 處的切線的代數被稱為 *李代數*。