經濟學數學/雙曲線

經濟學中的雙曲線

矩形雙曲線及其半徑描繪了經濟資料的範圍

簡介

本章對數學經濟學的方法是幾何的。正比和反比對應於第一象限中確定射線和雙曲線支的常數。經濟學中的工資、劃分、股票和市場動態等主題的例子說明了進入這種數學環境的過程，這些主題僅作了簡要介紹。然後，學生應掌握雙曲線幾何。

1863 年，W. S. 傑文斯闡明瞭在比率尺度中研究平均值的理論。他寫道：“為了取兩個比率的幾何平均數，我們必須將它們相乘，然後開方。”他利用 39 種商品的歷史價格上漲情況，估算了金本位制在法國貿易和新世界礦產開採中的貶值情況。

w:約翰·馮·圖能在 1826 年將雙曲線引入經濟學，當時他使用兩個值的幾何平均數來確定第三個值。極端最低工資（使工人勉強生存）遠低於使用僱主工具時的生產價值，這證明了資本化。馮·圖能透過將這兩個值相乘，然後開方來解決決定支付工資的問題。這種代數過程被稱為取兩個原始值的幾何平均數，馮·圖能稱之為自然工資。當設定自然工資時，給出該結果的兩個原始值的圖形是一個雙曲線。

等分函式p = S/n適用於n個接收者，其中S是總供給$S=\sum _{1}^{n}p.$當供應S被平均分配時，等分函式提供了分配的量p。當n是一個自然數時，例如在社會分配中，點 (1, S)、(2, S/2)、... (k, S/k) 位於笛卡爾平面中。當n取整數之間的實數值時，這些點透過平滑曲線y = p(n) = S/n連線起來。

一家公司有x千股公開持有，今天這些股票的價格是k美元。就市值而言，產品x k 000 代表公司在股票市場的價值。隨著k每天變化，公司價值也會隨之波動。有時，管理層會發現k過低，並且公司資金被用來回購一些股票，從而減少x。市場價值保持不變的座標 (x, k) 形成了一個雙曲線。

供求關係被認為是反向相關的。商品的價格是一個商業因素，價格和需求之間的關係如下：高價抑制需求，低價增加需求。供給由供應商決定，供應商設定價格，在稀缺情況下，價格可能非常高。

使得x>0 且y>0 的點 (x, y) 稱為笛卡爾平面的第一象限 Q。在傑文斯的政治經濟學理論中可以看到類似於雙曲線支的曲線。

在 Q 中觀察到的經濟行為可以從與之相關的微分幾何學中得到啟發：Q 是一個二維流形，(0,0) 是唯一的邊界點。實際上，當引入徑向座標和雙曲線角座標時，Q 可以被視為羅巴切夫斯基雙曲平面的一個副本。

確定雙曲線的徑向座標是第一個例子中的工資水平，第二個例子中的供給 S，第三個例子中的公司價值。在零售業中，總銷售額構成徑向座標。雙曲線角是相應雙曲線扇形對單位半徑的面積。雖然傳統的圓周角小於 360 度或 2 π 弧度，但雙曲線角是無界的。因此，需要一個零點來錨定其測量。根據傳統，雙曲線xy= 1 上的點 (1,1) 是零點。然後由 (x, 1/x) 決定的雙曲線角為 log x，即以 e = 2.718... 為底的自然對數。

對於雙曲度量幾何，雙曲線角確定一個水平軸，垂直軸由 Q 中徑向座標的平方根給出。上半平面 H 中的這些新座標被賦予了一個度量，這是一個滿足三角不等式的正距離函式。透過 H 跟蹤 Q 中的運動距離，無論時間是天、周、月還是年，都為長期和短期視角提供了一致的測量方法。

衡量個人或社群成熟度的指標之一是願意在工作完成之前延遲獎勵。心理學中的研究主題是延遲滿足。經濟學中的研究被稱為折現，這是一個消費者行為因素，其中未來的收益與較早的較小收益進行比較。經濟學研究的一個令人鼓舞的結果表明，人們更喜歡雙曲線折現而不是指數折現，這令人鼓舞，因為合理的人會使用這種延遲滿足的模式，這是諺語中的經濟人的標誌，這一點有時在其他情況下受到質疑。

修正百分比

對於雙曲線xy=1，當b/a=e時，角度為 1.0 翅

貨幣的時間價值被生活必需品價格的通貨膨脹深刻地體現出來。隨著商業成本上升，商品和服務的價格反映了貨幣的趨勢。更客觀地說，經濟學家可能會將這種變化表達為事實上的貨幣貶值。雙曲線角的翅單位遵循自然對數的單位，因此 (1,1) 和 (e,1/e) 之間的角度為一個單位。1% 的變化發生在 1 和 1.01 之間，log_e (1.01) = .0099503 翅或 9.9503 毫翅。前十個百分點的角值如下

• 1%: 9.9503 毫翅  6%: 58.269 毫翅
• 2%: 19.8026     "    7%: 67.659     "   
• 3%: 29.558     "     8%: 76.691    "   
• 4%: 39.2207     "     9%: 86.178     "   
• 5%: 48.790     "     10%: 95.310     "   

從一個百分點到下一個百分點的增量在減小；第一個百分點的角度最大。相反，對於以納翅為單位測量的機械速度，每次邊際增量幾乎與前一步相同。（比較運動學/變換）當然，這裡用於經濟學的毫翅是機械學中納翅的百萬倍。

經濟規律適用於宏觀和微觀尺度，只要人口存在。因此，象限在原點附近具有無限密度，水平曲線 xy = 常數表示參考，但不是 Q 中的最小距離曲線，如下所述。Q 的雙曲線角引數化補充了水平曲線，併為 Q 的更高几何學提供了一個入口：從 (0,0) 出發的射線代表恆定的斜率以及恆定的雙曲線角。具有正 v 的半平面 (u,v) 取 xy 的幾何平均數（平方根）來確定 v。Q 中一點的雙曲線角對應於半平面中的 u：u = log √(x/y)。

半平面是雙曲線幾何的標準模型，通常與圓盤模型和複數一起使用，其中線性分數變換建立了連線。半平面中的測地線或最短距離曲線是圓心位於 u 軸上的半圓，或半直線 { (x₀, y) : y > 0 }，x₀ 固定。半平面中的一點 (u,v) 對應於 Q 中由 x = v exp(u) 和 y = v exp(−u) 給出的點。當半平面的測地線繪製在 Q 中時，會提示一個經濟增長和衰退的場景。例如，某種產品的生產隨著其找到市場而增加，達到其受歡迎程度的頂峰，然後隨著其被市場取代而下降。類似地，一家公司從小型企業起步，隨著成功而成長，這可以從 Q 中的歷史點進行跟蹤。但請注意，Q 中匯聚於原點的射線對應於半平面中的垂直線，這些垂直線在 u 軸上具有不同的腳點。半平面對 Q 中現象的表達的這一特徵允許宏觀和微觀市場分析的相容性。

度量幾何

半平面中的雙曲線線段，以紅色表示絕對值。

按照亞瑟·凱萊（Arthur Cayley）開創的傳統，半平面的邊界稱為**絕對**：$\{(u,\ v):v>0,\ \ u\in \mathbb {R} \}.$ 用於測地線的半圓的圓心位於絕對上。

為了在 Q 中進行有意義的測量，參考半平面帶來了一個由運動所尊重的度量。這些是對應於所用雙曲平面模型的雙曲運動，在本例中是半平面（透過雙射對應關係，Q 中的度量）。

第一個運動是關於 (0,0) 的放大或收縮： (u,v) 到 (su, sv)，其中 s>0。第二個運動是沿著絕對的平移： (u, v) 到 (u + t, v)。這些運動使任何以絕對為圓心的半圓等價於單位半圓 u u + v v = 1。事實上，圓心可以透過平移移動到 (0,0)，半徑可以透過放大或收縮歸一化。

從 (u, a) 到 (u, b) 的垂直區間，其中 b > a，被對映到從 (su, sa) 到 (su, sb) 的區間。該區間的距離公式或度量是 log b – log a = log (b/a)，它在該運動下是不變的。第二種型別的運動將半平面向左或向右移動： (u, v) 到 (u + t, v)。從 Q 的角度看，這樣的運動對應於一個**雙曲旋轉**，這是一種保留 Q 中雙曲角差的線性變換。

第三個雙曲運動是一個對合，它涉及在半平面中的單位半圓上的反演。在這個反演下，射線 (1, tan θ)，0 < θ < π/2，它是單位圓的切線，被對映到以 (½ , 0) 為圓心、半徑為 ½ 的半圓。由於$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta ,$ 在 [0,1] 到 (1, tan θ) 上的直角三角形的斜邊長度為 sec θ，因此倒數是 cos θ，導致了上述半圓。現在，該半圓上的任何區間都對應於垂直射線上的一個區間，因此在這個半圓上定義了距離。呼叫第二個運動將圓心移到 (0, 0)，呼叫第一個運動將半徑翻倍，從而得到單位半圓。因此，單位半圓上的任何區間都具有與以 (½ , 0) 為圓心、半徑為 ½ 的半圓相對應的距離。顯然，任何以絕對為圓心的半圓都有一個距離公式可以應用於區間。

這種雙曲幾何在微分幾何中作為負曲率曲面出現。它是一個鞍面，因為每個點都有一個在歐幾里得幾何中找不到的膨脹特徵。這裡用笛卡爾幾何和標準三角學給出的處理方法提供了不需要複數的可訪問性。