運動學/變換

運動學和 SL(2,R)

運動學是研究運動而不考慮力或動量。SL(2,R) 是 2 x 2 實矩陣的特殊線性群，其行列式為 1。它是一個三維的連續群，因為四個矩陣元素受行列式固定為 1 的約束。

座標平面可以作為參考系 (t, x)。當 SL(2, R) 的一個元素作用於座標平面時，由於行列式條件，圖形的面積得以保持。一些矩陣會使平面旋轉，這既保持距離也保持面積。零加速度的運動學變換由保持面積但不保持距離的矩陣表示。

第一個例子是速度為 v 的線性運動，其中 x 的新位置在時間 t 後為 x + vt。線性變換表示為

$(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}=(t,tv+x).$

它線上性代數中被稱為剪下變換。這種剪下變換是經典力學的一部分，在電子時代已被以下方式取代

當 x=0 時，x = tanh x

運動學中的最高速度是光速 c，因此運動學速度 v 滿足 v < c 或 v /c < 1。使用雙曲角和雙曲正切函式引入了快度的概念。此函式也以 1 為上限，因此快度 w 滿足 tanh w = v /c。參考系的改變透過雙曲旋轉完成

$(t,x){\begin{pmatrix}\cosh w&\sinh w\\\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}},$

其中 cosh w 是 w 的雙曲餘弦，sinh w 是 w 的雙曲正弦。三角恆等式

$\cosh ^{2}w-\sinh ^{2}w=1$ 確認變換位於 SL(2, R) 中。

用雙曲角測量的速度使用翼作為單位，其中一翼是水中的光速，正如w:Ludwik Silberstein 在其《相對論》一書（1914 年）第 181 頁中所述。更常見的是，人們用英制單位英里每小時 (mph) 來描述更低的速度。顯然，一英里每小時等於 1 英里/3600 秒，而 c = 186,000 英里每秒。比率 1 mph/c 大約為 1.5 x 10⁻⁹。因此，每小時一英里的快度 w 滿足 tanh w = 1.5 x 10⁻⁹。

由於 tanh w 的導數為 sech² w，tanh w 的最大變化率為 1（當 w=0 時），並且遠離零，tanh 的斜率接近零。因此，對於 w 的小值，tanh 的行為與恆等函式相同。因此，對應於每小時一英里的快度為 1.5 奈米翼，其中奈米翼為 10⁻⁹ 翼。每小時一百英里的快速球有 150 奈米翼的快度。每小時一公里為 0.9375 奈米翼。

回想一下，旋轉位於 SL(2,R) 中，並注意這些變換的角量度。線性運動的經典和現代變換也具有角量度：斜率和雙曲角的差異。有關詳細資訊，請參見幾何/統一角。