現代物理學/勢動量

勢動量

在經典物理學中，我們知道運動學通常可以用勢能來描述。現在我們已經看到，在相對論中，能量只是動量四維向量的時間分量，因此我們應該期望勢能也是如此。為了瞭解它是如何工作的，我們將從經典情況類比推理。

對於一個質量為m的自由非相對論粒子，總能量E等於動能K，並且與粒子的動量Π的關係為

$E=K={\frac {|{\boldsymbol {\Pi }}|^{2}}{2m}}\qquad {\mbox{(自由，非相對論)}}.$

在非相對論情況下，動量為Π= mv，其中v是粒子速度。

如果粒子不是自由的，而是受到與勢能U(x,y,z)相關的力的作用，則該方程必須進行修改以說明U對總能量的貢獻

$E-U=K={\frac {|{\boldsymbol {\Pi }}|^{2}}{2m}}\qquad {\mbox{(非自由，非相對論)}}.$

作用在粒子上的力與勢能的關係為

$\mathbf {F} =-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right).$

對於自由的相對論粒子，我們有

$E=(|{\boldsymbol {\Pi }}|^{2}c^{2}+m^{2}c^{4})^{1/2}\qquad {\mbox{(自由，相對論)}}.$

在相對論情況下，新增力的顯而易見的方法是透過用勢能重寫這個方程

$E-U=(|{\boldsymbol {\Pi }}|^{2}c^{2}+m^{2}c^{4})^{1/2}\qquad {\mbox{(不完整！)}}.$

但是 ${\boldsymbol {\Pi }}=(\Pi ,E/c)$ 是一個四維向量，因此從該四維向量的單個分量中減去某物的方程不是相對論不變的。換句話說，這個方程不符合相對論原理，因此不可能是正確的！

我們如何解決這個問題？一種方法是定義一個新的四維向量，其中U/c是它的類時分量，而某個新的向量Q是它的類空分量

${\underline {Q}}\equiv (\mathbf {Q} ,U/c)\qquad {\mbox{(勢動量四維向量)}}.$

然後，我們從動量Π中減去Q。當我們這樣做時，方程 (13.5) 變為

$E-U=(|{\boldsymbol {\Pi }}-\mathbf {Q} |^{2}c^{2}+m^{2}c^{4})^{1/2}\qquad {\mbox{(非自由，相對論)}}.$

量Q被稱為勢動量，而Q則是勢四動量。

如果 |Π-Q|遠小於mc，則近似為

$E=mc^{2}+{\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\Pi }}-\mathbf {Q} \right)^{2}$

這種能量表達式與我們針對經典速度相關力所研究的哈密頓量形式相同，因此我們知道當滿足條件時，它預測了垂直於速度的力。事實證明，即使條件不滿足，它也是垂直的。

在經典物理學中，勢動量是一個可選的額外量。在相對論中，它是任何勢場的必要組成部分。

一些額外的術語很有用。我們定義

$\mathbf {p} \equiv {\boldsymbol {\Pi }}-\mathbf {Q} \qquad {\mbox{(kinetic momentum}})$

作為動量，因為在經典情況下它簡化為mv。為了避免混淆，我們將Π重新命名為總動量。因此，總動量等於動量加上勢動量，與能量類似。