分子模擬/傘形取樣

傘形取樣是一種在計算物理和化學中使用的取樣方法。這種取樣可以取樣正常分子動力學取樣忽略的稀有狀態。因此，當系統發生系統性變化時，傘形取樣可以改善自由能計算。

有偏分子動力學模擬

普通 MD 模擬在平衡狀態下對系統進行取樣。在正丁烷 (aq) 的 C-C-C-C 二面角時間序列的 MD 模擬中，只對 gauche 狀態和 trans 狀態進行取樣。因為這種模擬只進行了 2 納秒，所以自由能較高的狀態（例如 cis 狀態）不太可能發生。這些配置被忽略了，無法從這種模擬中計算這些狀態的自由能。在這種情況下，需要一個人工偏差勢來幫助分子越過能量勢壘。使用偏差勢，可以有效地取樣稀有狀態。

來自 2 納秒分子動力學模擬的正丁烷 (aq) 的 C-C-C-C 二面角時間序列。

在這種情況下，需要一個諧波偏差勢 $w(\phi )=-{\mathcal {V}}(\phi )$ 來抵消二面角勢壘。

$w(\phi )=-k_{\phi }(1+\cos(n\phi -\delta ))$

來自使用偏差勢來穩定 gauche 構象的 2 納秒分子動力學模擬的正丁烷 (aq) 的 C-C-C-C 二面角時間序列。

有偏模擬捕獲了高自由能狀態。為了計算這些狀態的自由能曲線，必須將有偏機率分佈轉換為無偏機率分佈。

正丁烷在液態水中進行等溫等壓分子動力學模擬。對 C-C-C-C 二面角施加偏差勢，以促進正丁烷旋轉勢壘的取樣。

正丁烷在液態水中的等溫等壓分子動力學模擬

從有偏模擬中獲取自由能曲線

勢能 $V'(r)$ 包括反應座標 $s$ 上的偏差勢 $w(s)$ 是 ${\mathcal {V}}'(r)={\mathcal {V}}(r)+w(s)$

此勢的機率分佈為

$P'(s)={\frac {\int {\exp \left({\frac {-{\mathcal {V}}'(r)}{k_{B}T}}\right)\delta (f_{\alpha }(r_{1},...,r_{N})-s)d^{N}r}}{\int {\exp \left({\frac {-{\mathcal {V}}'(r)}{k_{B}T}}\right)}d^{N}r}}$

無偏勢的機率分佈為

$P(s)={\frac {\int {\exp \left({\frac {-{\mathcal {V}}(r)}{k_{B}T}}\right)\delta (f_{\alpha }(r_{1},...,r_{N})-s)d^{N}r}}{\int {\exp \left({\frac {-{\mathcal {V}}(r)}{k_{B}T}}\right)}d^{N}r}}$

根據這個公式，我們可以推匯出，

$P'(s)=\exp \left({\frac {w(s)}{k_{B}T}}\right)P(s)\left\langle \exp \left({\frac {-w(s)}{k_{B}T}}\right)\right\rangle ^{-1}$

自由能曲線可以透過機率分佈計算得出，公式為：

$A(s)=k_{B}T\ln P(s)$

使用此關係，偏置模擬的PMF可以轉換為無偏PMF，公式為：

$A(s)=A'(s)-w(s)-k_{B}T\ln \left\langle \exp \left({\frac {-w(s)}{k_{B}T}}\right)\right\rangle$

$-k_{B}T\ln \left\langle \exp \left({\frac {-w(s)}{k_{B}T}}\right)\right\rangle$ 項記為 $F_{i}$。它通常是一個常數，在某些情況下不會影響相對能量，因此無需計算。可以透過 計算得出。

$\exp \left({\frac {-F_{i}}{k_{B}T}}\right)=\int {P(s)\exp \left({\frac {-w(s)}{k_{B}T}}\right)}ds=\int {\exp \left({\frac {-w(s)-A(s)}{k_{B}T}}\right)}ds$

檔案：正丁烷傘形取樣PMF.png

透過分子動力學模擬，並在模擬中引入偏置勢，計算出的正丁烷C-C-C-C二面角的平均力勢。偏置機率分佈得出的PMF用紅色表示。偏置勢用藍色表示。

這種方法可以得到所有可能狀態的自由能曲線。在正丁烷（aq）的傘形取樣中，所選偏置勢涵蓋了所有的反應座標。一般情況下更加複雜，這會導致偏置勢的確定更加複雜。

偏置勢的選擇

上一節討論了正丁烷(aq)的偏置分子動力學模擬。反應座標是一維且週期性的，偏置勢能被選擇為正丁烷二面角勢能的負值^[2]。最佳偏置勢能是自由能 $A(s)$ 的反向^[1]。然而，對於大多數情況，$A(s)$ 是未知的。對於一般情況，偏置勢能需要沿反應座標進行調整。因此，在參考點 $s_{0,i}$ 上施加的諧波偏置勢能相對於反應座標上的視窗 $i$ 被引入^[2]。

$w_{i}(s)={\frac {1}{2}}k_{i}(s-s_{0,i})^{2}$

因此，可以透過一系列在反應座標上不同參考點進行的偏置MD模擬來獲得完整的傘形抽樣。

從傘形抽樣資料計算平均力勢

加權直方圖分析法(WHAM)^[3]將一系列偏置分佈函式轉換為單個分佈函式。$F_{i}$ 的值需要進行估計以給出 $A(s)$ 的正確值：$A(s)=A'(s)-w(s)+F_{i}$

真實分佈P(s) 是每一步的加權平均值^[1]

$P(s)=\sum _{i=1}^{window}p_{i}(s)P_{i}(s)$

並且 $p_{i}=N_{i}\exp \left({\frac {-w(s)+F_{i}}{k_{B}T}}\right)$，其中 $N_{i}$ 是視窗 $i$ 取樣的總步數^[3]。

結合 $\exp \left({\frac {-F_{i}}{k_{B}T}}\right)=\int {P(s)\exp \left({\frac {-w(s)}{k_{B}T}}\right)}ds=\int {\exp \left({\frac {-w(s)-A(s)}{k_{B}T}}\right)}ds$，$P(s)$ 和 $F_{i}$ 都可以得到。

分析傘形抽樣的另一種方法是傘形積分，參見。

另請參閱

維基百科：傘形抽樣

有關傘形抽樣的更多資訊，請參見