建立向量和矩陣

以下是我們在 Octave 中指定行向量的示例

octave:1> x = [1, 3, 2]
x =

  1  3  2

請注意

向量用方括號括起來；
每個元素之間用可選的逗號分隔。x = [1 3 2] 會產生相同的行向量。

要指定列向量，只需將逗號替換為分號

octave:2> x = [1; 3; 2]
x =

  1
  3
  2

由此可見，我們使用逗號移動到向量（或矩陣）的下一列，並使用分號移動到下一行。因此，要指定矩陣，請鍵入行（用逗號分隔每個元素），並使用分號移動到下一行。

octave:3> A = [1, 1, 2; 3, 5, 8; 13, 21, 34]
A =

   1   1   2
   3   5   8
  13  21  34

運算子

可以使用標準運算子來

加（+），
減（-），以及
乘（*）

矩陣、向量和標量。請注意，這些運算子要起作用，矩陣需要具有匹配的維數（在乘法情況下，是內部維數）。

轉置運算子是單引號：'。繼續上一節的示例，

octave:4> A'
ans =

   1   3  13
   1   5  21
   2   8  34

（注意：這實際上是複共軛轉置運算子，但對於實矩陣，這與轉置相同。要計算復矩陣的轉置，請使用點轉置 (.') 運算子。）

冪運算子 (^) 也可以用於計算方陣的實冪。

元素運算

當您有兩個相同大小的矩陣時，可以對它們執行逐元素運算。例如，以下程式碼將A中的每個元素除以B中的對應元素

octave:1> A = [1, 6, 3; 2, 7, 4]
A =

  1  6  3
  2  7  4

octave:2> B = [2, 7, 2; 7, 3, 9]
B =

  2  7  2
  7  3  9

octave:3> A ./ B
ans =

  0.50000  0.85714  1.50000
  0.28571  2.33333  0.44444

請注意，您使用點除 (./) 運算子來執行逐元素除法。還有類似的運算子用於乘法 (.*) 和冪運算 (.^)。

讓我們引入一個標量供將來使用。

a = 5;

點除運算子還可以與標量一起以以下方式使用。

C = a ./ B

返回一個矩陣C，其中每個條目由下式定義

C_{ij}={\frac {a}{B_{ij}}}

即a被B中的每個條目除。類似地

C = a .^ B

返回一個矩陣，其中

C_{ij}=a^{B_{ij}}

索引

您可以透過索引來處理矩陣和向量的部分內容。您使用一個整數向量來告訴 Octave 使用向量或矩陣的哪些元素。例如，我們建立一個向量

octave:1> x = [1.2, 5, 7.6, 3, 8]
x =

  1.2000  5.0000  7.6000  3.0000  8.0000

現在，要檢視x的第二個元素，請輸入

octave:2> x(2)
ans = 5

您還可以按如下方式檢視元素列表。

octave:3> x([1, 3, 4])
ans =

  1.2000  7.6000  3.0000

最後一個命令顯示了向量x的第 1、3 和 4 個元素。

要從矩陣中選擇行和列，我們使用相同的原理。讓我們定義一個矩陣

octave:4> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]
A =

  1  2  3
  4  5  6
  7  8  9

並選擇第 1 行和第 3 行以及第 2 列和第 3 列

octave:5> A([1, 3], [2, 3])
ans =

  2  3
  8  9

冒號運算子 (:) 可用於從矩陣中選擇所有行或列。因此，要選擇第 2 行中的所有元素，請輸入

octave:6> A(2, :)
ans =

  4  5  6

您也可以像這樣使用: 來選擇所有矩陣元素

octave:7> A(:,:)
ans =
 
  1   2   3
  4   5   6
  7   8   9

範圍

我們還可以從矩陣中選擇一系列行或列。我們使用以下方法指定範圍

start:step:stop

您實際上可以在 Octave 提示符下鍵入範圍以檢視結果。例如，

octave:3> 1:3:10
ans =

   1   4   7  10

第一個顯示的數字是start，第二個是start + step，第三個是start + (2 * step)。最後一個數字小於或等於stop。

通常，您只需將步長設定為 1。在這種情況下，您可以省略步長引數並鍵入

octave:4> 1:10
ans =

   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10

如您所見，範圍命令的結果只是一個整數向量。我們現在可以使用它來索引向量或矩陣。要選擇A左上角的 $2\times 2$ 子矩陣，請使用

octave:4> A(1:2, 1:2)
ans =

  1  2
  4  5

最後，有一個名為end的關鍵字，它可以在索引矩陣或向量時使用。它指的是行或列中的最後一個元素。例如，要檢視矩陣的最後一列，可以使用

octave:5> A(:,end)
ans =

  3
  6
  9

函式

以下函式可用於建立和操作矩陣。

建立矩陣

tril(A) 返回A的下三角部分。

triu(A) 返回A的上三角部分。

eye(n) 返回 $n\times n$ 單位矩陣。您還可以使用eye(m, n) 來返回 $m\times n$ 矩形單位矩陣。

ones(m, n) 返回一個 $m\times n$ 矩陣，其中所有元素均為 1。類似地，ones(n) 返回一個 $n\times n$ 方陣。

zeros(m, n) 返回一個 $m\times n$ 矩陣，其中所有元素均為 0。類似地，zeros(n) 返回一個 $n\times n$ 方陣。

rand(m, n) 返回一個 $m\times n$ 矩陣，其中元素是從 $[0,1]$ 範圍內均勻隨機生成的。類似地，rand(n) 返回一個 $n\times n$ 方陣。

randn(m, n) 返回一個 $m\times n$ 矩陣，其中元素是正態分佈的隨機數。

randperm(n) 返回一個行向量，包含數字 $1,2,\ldots ,n$ 的隨機排列。

diag(x) 或 diag(A)。對於向量 x，此函式返回一個方陣，對角線上為 x 的元素，其他位置為 0。對於矩陣 A，此函式返回一個向量，包含 A 的對角線元素。例如，

octave:16> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]
A =

  1  2  3
  4  5  6
  7  8  9

octave:17> x = diag(A)
ans =

  1
  5
  9

octave:18> diag(x)
ans =

  1  0  0
  0  5  0
  0  0  9

linspace(a, b, n) 返回一個包含 n 個值的向量，第一個元素等於 a，最後一個元素等於 b，相鄰元素之間的差值恆定。最後一個引數 n 是可選的，預設值為 100。

octave:186> linspace(2, 4, 2)
ans =

  2   4

octave:187> linspace(2, 4, 4)
ans =

  2.0000   2.6667   3.3333   4.0000

octave:188> linspace(2, 4, 6)
ans =

  2.0000   2.4000   2.8000   3.2000   3.6000   4.0000

logspace(a, b, n) 返回一個包含 n 個值的向量，第一個元素等於 $10^{a}$ ，最後一個元素等於 $10^{b}$ ，相鄰元素之間的比率恆定。最後一個引數 n 是可選的，預設值為 50。

octave:189> logspace(2, 4, 2)
ans =

    100   10000

octave:190> logspace(2, 4, 4)
ans =

  1.0000e+02   4.6416e+02   2.1544e+03   1.0000e+04

octave:191> logspace(2, 4, 5)
ans =

  1.0000e+02   3.1623e+02   1.0000e+03   3.1623e+03   1.0000e+04

其他矩陣

還有一些建立特殊矩陣的函式，如下所示：

hankel (漢克爾矩陣)
hilb (希爾伯特矩陣)
invhilb (希爾伯特矩陣的逆矩陣)
sylvester_matrix (西爾維斯特矩陣) - 在 v3.8.1 版本中，有一個警告：sylvester_matrix 已過時，將在未來版本的 Octave 中移除；請使用 hadamard(2^k) 代替。
toeplitz (託普利茲矩陣)
vander (範德蒙德矩陣)

使用 help 命令可以獲取有關如何使用這些函式的更多資訊。

更改矩陣

fliplr(A) 返回矩陣 A 的副本，其中列的順序反轉，例如，

octave:49> A = [1, 2, 3, 4; 5, 6, 7, 8; 9, 10, 11, 12] 
A =

   1   2   3   4
   5   6   7   8
   9  10  11  12

octave:50> fliplr(A)
ans =

   4   3   2   1
   8   7   6   5
  12  11  10   9

flipud(A) 返回矩陣 A 的副本，其中行的順序反轉，例如，

octave:51> flipud(A)
ans =

   9  10  11  12
   5   6   7   8
   1   2   3   4

rot90(A, n) 返回矩陣 A 的副本，該副本已逆時針旋轉 (90n)°。第二個引數 $n$ 是可選的，預設值為 1，可以為負值。

octave:52> rot90(A)
ans =

   4   8  12
   3   7  11
   2   6  10
   1   5   9

reshape(A, m, n) 建立一個 $m\times n$ 矩陣，其元素取自 A。A 中的元素數量必須等於 $mn$ 。元素從 A 中按列優先順序獲取，這意味著第一列中的值（ $A_{11},\ldots ,A_{m1}$ ）首先被讀取，然後是第二列（ $A_{12},\ldots ,A_{m2}$ ），等等。

octave:53> reshape(A, 2, 6)
ans =

   1   9   6   3  11   8
   5   2  10   7   4  12

sort(x) 返回向量 x 的副本，其中元素按升序排序。

octave:54> x = rand(1, 6)
x =

  0.25500  0.33525  0.26586  0.92658  0.68799  0.69682

octave:55> sort(x)
ans =

  0.25500  0.26586  0.33525  0.68799  0.69682  0.92658

線性代數

有關更多可用於操作向量和矩陣、查詢特徵值等的運算子和函式的描述，請參見線性代數部分。

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