關於二維逆問題/Blaschke 產品

令{b_k} 為復單位圓盤D 中的n 個點的集合。相應的Blaschke 產品 定義為

$B_{b}(z)=\prod _{k}{\frac {|b_{k}|}{b_{k}}}({\frac {b_{k}-z}{1-{\overline {b_{k}}}z}}).$

如果點的集合是有限的，該函式定義了單位圓盤到自身的n-to-1對映，

$B_{b}:\mathbb {D} {\xrightarrow[{}]{n\leftrightarrow 1}}\mathbb {D} .$

如果點的集合是無限的，則該乘積收斂並定義了復單位圓盤的自同構，前提是滿足 Blaschke 條件

$\sum _{k}(1-|b_{k}|)<\infty .$

Cayley 變換

$\tau (z)={\frac {1-z}{1+z}}$

提供了一個Stieltjes 連分數 和 Blaschke 產品以及復單位圓盤和半空間的 Pick-Nevanlinna 插值問題之間的聯絡。

練習(**)。 證明

$\tau \circ \tau =Id$

並且每個 Stieltjes 連分數都是具有實數 b_k' 的 Blaschke 產品的共軛

$\beta =\tau \circ (\pm B_{b})\circ \tau .$

以及

$\prod _{\beta (\mu _{k})=1}{\frac {1-\mu _{k}}{1+\mu _{k}}}=\pm B_{b}(0)=\prod _{l}b_{l}=\pm {\frac {1-\beta (1)}{1+\beta (1)}}.$

(提示.) Cayley 變換是復單位圓盤和半空間之間的1-to-1 對映。