常微分方程/爆破與邊界移動

命題（常微分方程解的拼接）:

假設我們有一個連續函式 $f:[0,1]\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ 和兩個函式 $x_{1}:[t_{0}-\gamma ,t_{0}]\to \mathbb {R} ^{n}$, $x_{2}:[t_{0},t_{0}+\delta ]\to \mathbb {R} ^{n}$ 滿足

${\begin{cases}x_{1}'(t)=f(t,x_{1}(t))&t\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}]\\x_{1}(t_{0})=x_{0}\end{cases}}$

和

${\begin{cases}x_{2}'(t)=f(t,x_{2}(t))&t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]\\x_{2}(t_{0})=x_{0}\end{cases}}$

分別。然後函式

$x:[t_{0}-\gamma ,t_{0}+\delta ]\to \mathbb {R} ^{n},x(t):={\begin{cases}x_{1}(t)&t\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}]\\x_{2}(t)&t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]\end{cases}}$

求解

${\begin{cases}x'(t)=f(t,x(t))&t\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}+\delta ]\\x(t_{0})=x_{0}.\end{cases}}$

證明： 我們證明在 $x_{0}$ 處的可微性，如下所示：我們斷言 $x$ 的導數由 $f(t_{0},x_{0})$ 給出。為了證明我們的斷言，我們注意到

${\frac {x_{2}(t_{+})-x_{1}(t_{-})}{t_{+}-t_{-}}}={\frac {x_{2}(t_{+})-x_{2}(t_{0})}{t_{+}-t_{0}}}{\frac {t_{+}-t_{0}}{t_{+}-t_{-}}}+{\frac {x_{1}(t_{0})-x_{1}(t_{-})}{t_{0}-t_{-}}}{\frac {t_{0}-t_{-}}{t_{+}-t_{-}}}\to f(t_{0},x_{0}),t_{+},t_{-}\to 0$

其中 $t_{+}\in [t_{0},t_{0}+\delta ]$ 且 $t_{-}\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}]$；這是因為

${\frac {t_{+}-t_{0}}{t_{+}-t_{-}}}+{\frac {t_{0}-t_{-}}{t_{+}-t_{-}}}=1$.

在 $t_{+},t_{-}$ 都包含在兩個區間 $[t_{0},t_{0}+\delta ]$，$[t_{0}-\gamma ,t_{0}]$ 中的同一個區間時，無論如何收斂都是明確的。 $\Box$

定義（存在最大區間）:

令一個常微分方程

$(*){\begin{cases}x'(t)=f(t,x(t))&\\x(t_{0})=x_{0}\end{cases}}$

給定。最大存在區間定義為區間$(a,b)$，其中

$a:=\inf\{t\in \mathbb {R} |\exists x:(a,t_{0}]\to \mathbb {R} ^{n}:x{\text{ satisfies }}(*)\}$ 且 $b:=\sup\{\}$.

命題（連續情況下最大存在區間的存在性）:

定義:

令一個常微分方程

${\begin{cases}x'(t)=f(t,x(t))&\\x(t_{0})=x_{0}\end{cases}}$

給定，其中 $f$ 是連續的。最大存在區間圍繞 $(t_{0},x_{0})$ 是最大（關於集合包含）區間 $I$ 使得 $t_{0}\in I$ 並且存在一個解 $x$ 在 $I$ 上定義為上述方程。

注意，只有關於解的串聯的先前定理保證了最大存在區間的定義有意義，否則可能出現兩個區間 $I_{1}=(a_{1},b_{1})$ 和 $I_{2}=(a_{2},b_{2})$（$a_{1}<a_{2}<t_{0}<b_{1}<b_{2}$），使得 $t_{0}$ 包含在兩個區間內，並且在兩個區間上都定義了一個解，但這些解是不相容的，因為它們都不能擴充套件到“大”區間 $(a_{1},b_{2})$。關於串聯的定理確保這種情況永遠不會發生。

現在，我們的目標是證明，當我們在解圖 $(t,x(t))$ 上沿著 $t$ 趨近最大存在區間 $I$ 的端點時，從某種意義上來說，我們正在向 $D$ 的邊界移動，其中 $D$ 被要求是開集，並且是 $f$ 的定義域。這意味著對於任何緊集 $K\subset D$，如果我們選擇足夠大或足夠小的 $t$，那麼 $(t,x(t))$ 將位於 $K$ 的外部。證明過程較長，需要一些準備工作。

命題（將緊集包含在規範緊集內）:

令 $f:D\to \mathbb {R} ^{n}$ 是微分方程的右側，其中 $D$ 是開集（實際上，對於這個引理而言，只有集合 $D$ 有意義）。設定

$D_{k}:=\left\{x\in D|\operatorname {dist} (x,\partial D)>{\frac {1}{k}}\wedge \|x\|<k\right\}$

對於 $k\in \mathbb {N}$。如果 $K\subseteq D$ 是任何緊集，那麼對於足夠大的 $k$，$K\subset D_{k}$。

證明： 由於 $K$ 是緊緻的，所以它是 有界的。因此，對於足夠大的 $k_{1}\in \mathbb {N}$，有 $K\subseteq B_{k_{1}}(0)$。此外，由於上述情況，$K$ 到邊界的距離存在一個最小值 $\epsilon$，我們可以選擇 $k_{2}\in \mathbb {N}$ 使得 ${\frac {1}{k_{2}}}<\epsilon$。選擇 $k:=\max\{k_{1},k_{2}\}$。則

$K\subseteq B_{k_{1}}(0)\subseteq B_{k}(0)$ 並且 $\forall x\in K:\operatorname {dist} (x,\partial D)>\epsilon >{\frac {1}{k_{2}}}>{\frac {1}{k}}$.

因此，$K\subset D_{k}$。 $\Box$

命題 (常微分方程的解延拓到邊界):

令 $f:D\to \mathbb {R} ^{n}$ 為微分方程的右側（其中 $D$ 為開集），並令 $x:I\to \mathbb {R} ^{n}$ 為該方程的解，其中 $I=(a,b)$ 是最大解區間內部。如果 $t$ 足夠接近 $a$ 或 $b$，那麼對於每個緊緻集 $K\subset D$，點 $(t,x(t))$ 位於 $K$ 之外。

證明：假設不是這樣。那麼不失一般性，我們有序列 $t_{1}>t_{2}>t_{3}>\cdots >t_{k}>\cdots$ 使得 $t_{k}\to a,k\to \infty$ 且 $(t_{k},x(t_{k}))\in K$（對於區間 $b$ 的另一端，類似的假設會導致類似的矛盾）。由於 $K$ 是緊緻的，序列 $(t_{k},x(t_{k}))$ 存在一個聚點 $(a,x^{*})$。我們斷言，事實上

$\lim _{t\to a}(t,x(t))=(a,x^{*})$.

選擇一個 $m\in \mathbb {N}$ 使得 $K\subset D_{m}$。設 $\epsilon >0$ 為任意值。我們可以將自己限制在足夠小的 $\epsilon >0$ 上，使得 $B_{\epsilon }((a,x^{*}))\subseteq D_{m}$。因為 $f$ 是連續的，它在緊湊的 ${\overline {B_{\epsilon }((a,x^{*}))}}$ 上是有界的，比如由 $M>0$ 限制。現在選擇一個 $\delta <\epsilon /(2M)$ 使得 $(a+\delta ,x(a+\delta ))\in B_{\epsilon /2}((a,x^{*}))$。如果我們假設 $x$ 在 $B_{\epsilon }((a,x^{*}))$ 之外，對於 $|t-a|<\delta$，將中值定理應用於函式

$(a,a+\delta )\to \mathbb {R} ,t\mapsto \|(a,x^{*})-(t,x(t))\|$

得到一個 $s\in (a,a+\delta )$ 使得 $\|(a,x^{*})-(t,x(t))\|=\epsilon$。但是

${\begin{aligned}\|(a,x^{*})-(t,x(t))\|&\leq \|(a,x^{*})-(a+\delta ,x(a+\delta ))\|+\|(a+\delta ,x(a+\delta ))-(t,x(t))\|\\&<\epsilon /2+\|(a+\delta ,x(a+\delta ))-(t,x(t))\|\\&=\epsilon /2+\left\|\int _{t}^{a+\delta }f(s,x(s))ds\right\|\leq \epsilon /2+\delta M<\epsilon /2+\epsilon /2<\epsilon \end{aligned}}$,

矛盾。

因此，$\lim _{t\to a}(t,x(t))\in K$. 但另一方面，根據皮亞諾存在定理和解的拼接，我們可以將解在$a+\mu$ 處向左延長固定長度（即對於 $\gamma =\max\{{\frac {1}{2m}},{\frac {1}{2m{\mathcal {M}}}}\}$，其中 ${\mathcal {M}}:=\min _{(t,x)\in {\overline {D_{2m}}}}|f(t,x)|$，它由於 $f$ 的連續性和 ${\overline {D_{2m}}}$ 的緊緻性而存在），並且對足夠小的 $\mu$ 進行如此操作會導致 $(a,b)$ 不是最大存在區間的矛盾。$\Box$

推論:

令 $f:D\to \mathbb {R} ^{n}$ 為微分方程在特例 $D=(c,d)\times \mathbb {R} ^{n}$ 中的右邊，其中 $J=(c,d)$ 為一個區間。令 $I=(a,b)$ 為圍繞 $(t_{0},x_{0})\in D$ 的解的最大存在區間。那麼，要麼 $a=c$，要麼當 $t\to a$ 時，$\|x(t)\|\to \infty$。類似地，要麼 $b=d$，要麼當 $t\to b$ 時，$\|x(t)\|\to \infty$。

證明:

根據前面的定理，解最終會離開每個緊緻集$K\subset D$，當 $t\to a$ 或 $t\to b$。特別是，這對於緊緻集${\overline {D_{k}}}$成立。但是，離開它意味著要麼$\|(t,x(t))\|\geq k$ 或 $|c-t|\leq 1/k$ 或 $|d-t|\leq 1/k$，因為$(t,x(t))$ 到$\partial D$ 的距離正好是 $t$ 到最近的區間端點 $c$、$d$ 的距離。因此，如果不 $a=c$，那麼$\|x(t)\|\to \infty$ 當 $t\to a$，以及對於$b$ 和 $d$ 的類似結論也是成立的。$\Box$