常微分方程/精確解 2

一階微分方程

本頁面詳細介紹了一種查詢以下形式方程解的方法

${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x),$

使用積分因子：$I(x)=e^{\int P(x)dx}$

例 1

考慮以下方程

${\frac {dy}{dx}}+3y=xe^{-3x}+1$

現在$P(x)=3$ 因此積分因子為

$I(x)=e^{\int P(x)dx}$

$I(x)=e^{\int 3dx}$

$I(x)=e^{3x}$

將原始方程乘以$I(x)$

$e^{3x}{\frac {dy}{dx}}+e^{3x}3y=e^{3x}(xe^{-3x}+1)$

$e^{3x}{\frac {dy}{dx}}+e^{3x}3y=x+e^{3x}$

然後嘗試：${\frac {d}{dx}}(ye^{3x})=e^{3x}{\frac {dy}{dx}}+e^{3x}3y$

它等於 LHS，得到

${\frac {d}{dx}}(ye^{3x})=x+e^{3x}$

然後對 x 進行積分

$\int {\frac {d}{dx}}(ye^{3x})dx=\int xdx+\int e^{3x}dx$

得到

$ye^{3x}={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {e^{3x}}{3}}+C$

$y={\frac {x^{2}}{2e^{3x}}}+{\frac {1}{3}}+Ce^{-3x}$（這是通解）