常微分方程/精確方程

簡介

假設函式 $F(x,y)$ 代表某些物理量，例如 $xy$ 平面中的某個區域的溫度。那麼，F 的等高線，其中 $F(x,y)={\text{constant}}$，可以解釋為天氣圖上的等溫線（即天氣圖上代表恆定溫度的曲線）。沿著其中一條曲線，$\gamma (x)=(x,y(x))$，恆溫，我們有，根據鏈式法則和溫度 F 在這些曲線上是恆定的這一事實

$$0={\frac {\mathrm {d} F(\gamma (x))}{\mathrm {d} x}}=F_{x}+F_{y}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}.$$

乘以 $\mathrm {d} x$ 我們得到 $$0=F_{x}\mathrm {d} x+F_{y}\mathrm {d} y.$$ 因此，如果我們沒有給出原始函式 F，而只給出了以下形式的方程

$$M(x,y)\mathrm {d} x+N(x,y)\mathrm {d} y=0,$$

我們可以設定 $F_{x}:=M(x,y),F_{y}:=N(x,y)$，然後透過積分找出原始的 $F$。

方法的正式步驟

(1) 首先確保存在這樣的 $F$，透過檢查精確性條件

$${\frac {\partial {}M}{\partial {}y}}={\frac {\partial {}N}{\partial {}x}}.$$

這是因為如果存在這樣的 F，那麼 ${\frac {\partial {}M}{\partial {}y}}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial {}y\partial {}x}}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial {}x\partial {}y}}={\frac {\partial {}N}{\partial {}x}},$

其中 ${\frac {\partial }{\partial {}x}}$ 和 ${\frac {\partial }{\partial {}y}}$ 分別表示對變數 $x$ 和 $y$ 的偏導數（在求導時，我們將另一個變數視為常數）。

(2)其次，分別對 $M,N$ 進行關於 $x,y$ 的積分： $$\int \!{}M(x,y)dx=\int \!{}F_{x}(x,y)dx=F(x,y)+a(y)$$ $$\int \!{}N(x,y)dy=\int \!{}F_{y}(x,y)dy=F(x,y)+b(x)$$

對於一些未知函式 $a,b$ （這些在對單個變數進行積分時充當積分常數）。因此，為了獲得 $F$ ，剩下的就是確定 $a$ 或 $b$ 。

(3)將上面兩個關於 $F(x,y)$ 的公式相等： $\int \!{}M(x,y)\mathrm {d} x+a(y)=F(x,y)=\int \!{}N(x,y)\mathrm {d} y+b(x).$

(4) 由於要找到 $F$ 只需確定 $a$ 或 $b$，選擇更容易計算的積分。假設 $\int M(x,y)\mathrm {d} x$ 更容易計算。為了得到 $a(y)$，我們對 $F$ 的兩個表示式關於 $y$ 求導（對於固定的 $x$）：$a'(y)=-\int \!{}M_{y}(x,y)\mathrm {d} x+N(x,y)$，然後關於 $y$ 積分：$a(y)=\int \left[-\int M_{y}(x,y)dx+N(x,y)\right]\mathrm {d} y+c.$

(5)觀察到 $a$ 僅僅是 $y$ 的函式，因為如果我們對我們為 $a$ 找到的表示式求導，並使用步驟 $1$，我們會發現 $${\begin{aligned}{\frac {\partial {}a}{\partial {}x}}=&\int \!{}{\frac {\partial }{\partial {}x}}\left[-\int \!{}M_{y}(x,y)\mathrm {d} x+N(x,y)\right]\mathrm {d} y\\=&\int \!{}\left[-M_{y}(x,y)+N_{x}(x,y)\right]\mathrm {d} x\\=&\int \!{}0\mathrm {d} x\\=&0\end{aligned}}$$