常微分方程/存在性

存在性和唯一性

那麼，這意味著如果我們有一個初始條件，我們將始終只有一個且只有一個解嗎？嗯，不完全是。在某些情況下，仍然可能沒有解或有無限多個解。

我們將注意力限制在微分方程$y'=f(x,y)$ 的特定矩形上，其中解穿過矩形的中心。設矩形的高度為 h，寬度為 w。現在，設 M 為矩形中 f(x,y) 的絕對值的 上界。定義 b 為 w 和 h/M 中較小的一個，以確保函式保持在矩形內。

存在性定理：如果我們有一個初始值問題$y'=f(x,y),y(a)=b$，如果 f(x,y) 在點 (a,b) 周圍的某個矩形 I 上有界，則保證存在解。

基本上，這意味著只要在點 (a,b) 處沒有間斷，該點至少存在一個解。不過，仍然可能存在多個解。

唯一性定理：如果還滿足以下Lipschitz 條件

對於矩形中的所有 x，則對於兩個點$(x,y_{1})$ 和$(x,y_{2})$，則$|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|<K|y_{2}-y_{1}|$ 對於某個常數$K$，

則解在包含 x=a 的某個區間$J$ 上是唯一的。

因此，如果滿足 Lipschitz 條件，並且$f(x,y)$ 有界，則存在解且解是唯一的。如果不滿足 Lipschitz 條件，則至少存在另一個解。此解通常是一個平凡解$y(x)=k$，其中 k 是一個常數。

我們將使用兩種不同的方法來證明這些定理。第一種方法是逐次逼近法，第二種方法是柯西-利普希茨方法。

讓我們嘗試一些例子。

示例 9

$y'=ky,y(10)=500$

方程$f(x,y)=ky$ 是否連續？是。

方程${\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}=k$ 是否連續？是。

所以解存在且唯一。

例 10

$y'={\frac {1}{x}},y(0)=5$

方程$f(x,y)={\frac {1}{x}}$ 是否連續？否。在 x=0 處存在間斷點。如果我們使用任何其他點，它就會存在。

所以解不存在。

例 11

$y'={\sqrt {y-1}},y(1)=1$

表示式$f(x,y)={\sqrt {y-1}}$ 是否連續？是。

表示式${\frac {\partial {y}}{\partial {x}}}={\frac {1}{2(y-1)^{\frac {1}{2}}}}$ 當 y(1)=1 時是否連續？否。它在 y=1 處不連續（即，它在$y=1$處未定義）並且當$y\to 1$時無界），但對所有 x 都是連續的。

利普希茨條件不滿足，儘管存在條件滿足。因此，解存在但不必唯一。

第一個解是$y(x)={\frac {(x-1)^{2}}{4}}+1,x\geq 1$。

另一個解恰好是平凡解，$y(x)=1$。