常微分方程/一階線性 1

一階微分方程

什麼是線性一階方程？

線性一階方程是以下形式的方程：

${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)$.

其中最簡單的情況如示例 1 所示，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 不是函式而是簡單的常數。線性一階方程很重要，因為它們經常出現在自然界和物理學中，並且可以透過一種相當直接的方法來解決。

我們首先透過啟發解法來開始。首先回顧一下，乘積法則指出 $[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$。關鍵的觀察是，一階 ODE 的左側似乎與乘積法則非常相似。有一個包含 $y$ 導數的項，還有一個不包含 $y$ 導數的項。

讓我們比較左側

${\frac {dy}{dx}}+P(x)y$

與應用於包含 $y$ 的乘積的乘積法則。注意 ${\frac {d}{dx}}$ 等於素數 $'$ 運算子。

${\frac {d}{dx}}{\Big [}\mu (x)y(x){\Big ]}=\mu (x){\frac {dy}{dx}}+{\frac {d\mu }{dx}}y(x)$.

我們首先注意到，在一階常微分方程的左側，在 $\mu (x)$ 之前，沒有 ${\frac {dy}{dx}}$ 的項。我們可以嘗試透過乘以 $\mu (x)$ 來修正。然後常微分方程將變成

$\mu (x){\frac {dy}{dx}}+\mu (x)P(x)y=\mu (x)Q(x).$

但現在這隻有在 ${\frac {d\mu }{dx}}=\mu (x)P(x)$ 且因此 $\mu (x){\frac {dy}{dx}}+y(x){\frac {d\mu }{dx}}=\mu (x)Q(x)$ 時，看起來才像乘積法則，但我們目前還不確定。但是這個簡單的方程很容易求解，因為它是一個可分離的方程。將它的兩邊都除以 $\mu (x)$ 並積分，得到

$\int {\frac {1}{\mu (x)}}{\frac {d\mu }{dx}}\,dx=\int P(x)\,dx$

透過替換積分左側的積分，就變成了 $\ln |\mu (x)|$。因此，將自然對數移到右邊，我們有

$\mu (x)=e^{\int P(x)\,dx}.$

這非常重要，被稱為“積分因子”。因此，我們的原始常微分方程可以改寫為

$e^{\int P(x)\,dx}{\frac {dy}{dx}}+P(x)e^{\int P(x)\,dx}y=e^{\int P(x)\,dx}Q(x)$

但現在引入 $\mu (x)$ 的整個目的是試圖將該常微分方程的左側變成 $[\mu (x)y]'$ 以便於積分，而這正是我們所做的。因此

$[e^{\int P(x)\,dx}y]'=e^{\int P(x)\,dx}Q(x).$

因此我們可以對等式兩邊積分，然後解出y得到

$e^{\int P(x)\,dx}y=\int e^{\int P(x)\,dx}Q(x)\,dx.$

$y=e^{-\int P(x)\,dx}\int e^{\int P(x)\,dx}Q(x)\,dx.$

下面我們將提供另一種推導該公式的方法。

示例 1：P 和 Q 是常數

假設我們有以下等式

${\frac {dy}{dx}}=my+n$

其中 n 和 m 是常數。解出 y。

步驟 1：求解積分因子 $e^{\int P(x)dx}$，

其中 P(x) = m，常數的積分是

$\int mdx=mx+C$

得到

$e^{\int P(x)dx}=e^{mx}e^{c}=Ce^{mx}$

$e^{c}$ 合併為 C。令 C=1，我們得到 e^mx。

步驟 2：用剛剛找到的積分因子乘以整個方程。

$e^{mx}{\frac {dy}{dx}}+e^{mx}my=ne^{mx}\,$

步驟 3：識別出左邊是 ${\frac {d}{dx}}{\Big [}e^{\int P(x)dx}y{\Big ]}$，

即符合乘積法則，得到。

${\frac {d}{dx}}{\Big [}e^{mx}y{\Big ]}=ne^{mx}$

步驟 4：對等式兩邊關於 x 積分，

左側現在很容易整合。

$\int ({\frac {d}{dx}}e^{mx}y)dx=\int ne^{mx}dx$

$e^{mx}y={\frac {n}{m}}e^{mx}+C$

步驟 5: 最後解出 y

$y={\frac {n}{m}}+Ce^{-mx}$

示例 2: P 和 Q 是 x

取方程

${\frac {dy}{dx}}+xy=x$

求解 y。

步驟 1: 查詢 $e^{\int P(x)dx}$, P(x) = x，x 的積分是

$\int x={\frac {1}{2}}x^{2}+C$

得到

$e^{\int P(x)dx}=Ce^{{\frac {1}{2}}x^{2}}$

令 C=1，我們得到 $e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}$

步驟 2: 乘以

$e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}{\frac {dy}{dx}}+e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}xy=e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}x$

步驟 3: 認識到左側是 ${\frac {d}{dx}}e^{\int P(x)dx}y$，給出

${\frac {d}{dx}}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}y=e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}x$

步驟 4: 積分

$\int ({\frac {d}{dx}}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}y)dx=\int xe^{{\frac {1}{2}}x^{2}}dx$

$e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}y=e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}+C$

步驟 5: 求解 y

$y=1+{\frac {C}{e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}}}$

示例 3: P 和 Q 不相關

取方程

${\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=x$

求解 y。

在開始之前，我們注意到對於函式 y，我們不能保證對於所有 x 都有解，因為係數在 0 處不連續。所以我們可以找到在 $x\in (0,\infty )$ 或 $x\in (-\infty ,0)$ 的解。為了這個解的目的，我們將假設 $x\in (0,\infty )$.

步驟 1: 求 $e^{\int P(x)dx}$，$P(x)=1/x$，

以及 1/x 的積分是

$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln(x)+C$

得到

$e^{\int P(x)dx}=Ce^{\ln(x)}=Cx$

令 C=1，得到 x。

步驟 2: 乘以

$x{\frac {dy}{dx}}+y=x^{2}$

步驟 3: 認識到左邊是 ${\frac {d}{dx}}e^{\int P(x)dx}y$

${\frac {d}{dx}}[xy]=x^{2}$

步驟 4: 對兩邊進行關於 x 的積分。

$\int {\frac {d}{dx}}[xy]\,dx=\int x^{2}dx$

$xy={\frac {1}{3}}x^{3}+C$

步驟 5: 求解 y

$y={\frac {1}{3}}x^{2}+{\frac {C}{x}}$

另一種推導方式

有一種求解非齊次方程的策略叫做引數變異法，其步驟如下。首先求解齊次方程的通解。猜測非齊次方程的解可以寫成與齊次方程解相同的形式，只是未知常數被未知函式代替。然後將這種形式的解代回原方程，看是否能找到未知函式的值。

這種方法在處理一階線性方程時效果很好，並且為我們提供了另一種推導解的公式的方法，我們將在下面介紹。

1. 首先，令Q(x) 等於 0，以便得到一個齊次線性方程（這個術語的使用要區別於前面幾節中 "齊次" 的含義）。
   
   ${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=0$
   
   
2. 這個方程是可分離的，因此將它分離
   
   ${\frac {dy}{y}}+P(x)dx=0$
   
   
3. 求解該方程得到解
   
   $y=Ce^{-\int P(x)dx}$
   
   
4. 現在令C 被 x 的可變函式替換，並將其表示為 g(x)。
   
   $y=g(x)e^{-\int P(x)dx}$
   
   
5. 將前面的方程代入微分方程得到
   
   $g'(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$
   
   
6. 現在求解 g(x) 得到
   
   $g(x)=C+\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$
   
   

1. 現在將這個 g(x) 的表示式代入得到通解
   
   $y=g(x)e^{-\int P(x)dx}=Ce^{-\int P(x)dx}+e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$

從非線性方程構造線性方程

有時，一個無法像這樣求解的非線性方程可以透過應用替換操作變成線性方程，從而更容易求解。

示例

$y{\frac {dy}{dx}}+xy^{2}=5x$

讓我們進行以下替換

$v=y^{2}\,$

${\frac {dv}{dx}}=2y{\frac {dy}{dx}}$

代入後，我們得到

${\frac {1}{2}}{\frac {dv}{dx}}+xv=5x$

${\frac {dv}{dx}}+2xv=10x$

然後我們可以像上面那樣，使用逐步方法，將它作為關於v 的線性方程來求解

步驟 1：求積分因子

$e^{\int P(x)dx}$

$e^{\int 2xdx}=e^{x^{2}+C}$

$e^{\int P(x)dx}=Ce^{x^{2}}$

為了方便，令 C=1，我們得到$e^{x^{2}}$ 作為我們的積分因子。

步驟 2: 乘以

$e^{x^{2}}{\frac {dv}{dx}}+e^{x^{2}}xv=10e^{x^{2}}x$

步驟 3：識別出左側是${\frac {d}{dx}}e^{\int P(x)dx}v$

${\frac {d}{dx}}e^{x^{2}}v=10e^{x^{2}}x$

步驟 4: 對兩邊進行關於 x 的積分。

$\int ({\frac {d}{dx}}e^{x^{2}}v)dx=\int 10e^{x^{2}}xdx$

$e^{x^{2}}v=5e^{x^{2}}+C$

步驟 5：求解 v。

$v=5+{\frac {C}{e^{x^{2}}}}$

現在我們有了 v，求解 y。

$v=y^{2}\,$

$y^{2}=5+{\frac {C}{e^{x^{2}}}}\,$