常微分方程/一階線性 2

返回指數增長

還記得人口增長問題嗎？其中${\frac {dP}{dt}}=(B-D)P$？現在我們可以求解線性方程，也可以求解其中添加了因子$f(t)$ 的變體。新方程是${\frac {dP}{dt}}=(B-D)P+f(t)$，可以使用上一節中介紹的線性方法求解。

移民

假設除了正常的人口增長外，還有 1000 人搬到一座城市。這可以透過使$f(x)=1000$ 來解釋。這給了我們一個線性微分方程來求解

${\frac {dP}{dt}}=kP+1000$

${\frac {dP}{dt}}-kP=1000$

步驟 1：查詢 $e^{\int P(t)dt}$

$\int kdt=kt+C$

$e^{\int P(t)dt}=Ce^{kt}$

令 C=1，得到 $e^{kt}$

步驟 2：乘以

$e^{kt}P'+e^{kt}P=1000e^{kt}$

步驟 3：識別出左邊是 ${\frac {d}{dt}}e^{\int P(t)dt}y$

${\frac {d}{dt}}e^{kt}P=1000e^{kt}$

步驟 4：積分

$\int ({\frac {d}{dt}}e^{kt}P)dt=\int 1000e^{kt}dt$

$e^{kt}P={\frac {1000}{k}}e^{mt}+C$

步驟 5：解出 y

$P={\frac {1000}{k}}+{\frac {C}{e^{kt}}}$

如您所見，答案是在正常解的基礎上新增一個常數，正如預期的那樣。

狩獵

假設政府允許每年捕殺 10 只動物。這使得 $f(t)=-10t$。這將如何影響解？

${\frac {dP}{dt}}=kP-10t$

${\frac {dP}{dt}}-kP=-10t$

步驟 1：查詢 $e^{\int P(t)dt}$

$\int kdt=kt+C$

$e^{\int P(t)dt}=Ce^{kt}$

令 C=1，得到 $e^{kt}$

步驟 2：乘以

$e^{kt}P'+e^{kt}P=-10te^{kt}$

步驟 3：識別出左邊是 ${\frac {d}{dt}}e^{\int P(t)dt}y$

${\frac {d}{dt}}e^{kt}P=-10te^{kt}$

步驟 4：積分

$\int ({\frac {d}{dt}}e^{kt}P)dt=\int -10te^{kt}dt$

$e^{kt}P={\frac {-10(kx-1)e^{kx}}{k^{2}}}+C$

步驟 5：解出 y

$P={\frac {-10(kx-1)}{k^{2}}}+{\frac {C}{e^{kx}}}$

混合問題

想象一下，我們有一個裝有水和某種物質（例如鹽）溶液的儲罐。我們有濃度為 $C_{i}$、速率為 $R_{i}$ 的水流入儲罐。我們還有濃度為 $C_{o}$、速率為 $R_{o}$ 的水流出儲罐。因此，儲罐中濃度發生了變化。

${\frac {dx}{dt}}=R_{i}C_{i}-R_{o}C_{o}$

仔細思考一下，$R_{i}$、$C_{i}$ 和 $R_{o}$ 是常數，但 $C_{o}$ 取決於水箱中當前的濃度，而該濃度並不固定。當前的濃度是 ${\frac {x}{V}}$，其中 V 是水箱中水的體積。不幸的是，體積會根據水箱中水的多少而變化。如果水箱最初的體積是 $V_{0}$，那麼 t 時刻的體積是 $V(t)=V_{0}+t(r_{i}-r_{o})$。這使得最終方程成為

$x'=R_{i}C_{i}-{\frac {R_{o}x}{V_{0}+t(R_{i}-R_{o})}}$

這是一個明顯的線性方程。讓我們來解決它。

$x'+{\frac {R_{o}x}{V_{0}+t(R_{i}-R_{o})}}=R_{i}C_{i}$

步驟 1：查詢 $e^{\int P(t)dt}$

$\int {\frac {R_{o}}{V_{0}+t(R_{i}-R_{o})}}={\frac {R_{o}ln((R_{i}-R_{o})t+V_{0})}{R_{i}-R_{o}}}+C$

$e^{\int P(t)dt}=Ce^{\frac {R_{o}ln((R_{i}-R_{o})t+V_{0})}{R_{i}-R_{o}}}=C((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}$

令 C=1，得到 $((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}$

步驟 2：乘以

$((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}x'+((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}{\frac {R_{o}x}{V_{0}+t(R_{i}-R_{o})}}=((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}R_{i}C_{i}$

步驟 3：識別出等式左側是 ${\frac {d}{dt}}e^{\int P(t)dt}x$

${\frac {d}{dt}}((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}x=((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}R_{i}C_{i}$

步驟 4：積分

$\int (((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}x)dt=\int (R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}R_{i}C_{i}dt$

$((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}x={\frac {C_{i}V_{0}((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{i}}{V_{0}}}}{(R_{i}-R_{o})}}$

步驟 5：解出 y

$x={\frac {C_{i}V_{0}((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{i}}{V_{0}}}}{(R_{i}-R_{o})((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}}}$

看起來很複雜，不是嗎？在處理實際混合問題時，通常會在更早的階段代入數值，這使得處理起來更加容易。