常微分方程/解在區間上的全域性唯一性

如果一個 IVP 的解存在區域性唯一性（例如由皮卡-林德洛夫定理隱含），並且如果我們只考慮在區間上的解，那麼解就存在全域性唯一性。

定理。區間上的唯一性

定理 如果區間上的解在一個點上重合，那麼它們是相同的

假設

1. $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 是 IVP 的解
2. $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 是區域性唯一解（例如由皮卡-林德洛夫定理得出）
3. $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的定義域都是區間（包含 $x_{0}$，否則初始條件就毫無意義）

結論

1. $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 在它們的共同定義域內重合：$\forall x\in Dom(y_{1})\cap Dom(y_{2})\,y_{1}(x)=y_{2}(x)$
2. 如果 $Dom(y_{1})=Dom(y_{2})$，$y_{1}=y_{2}$
3. $y={\begin{cases}y_{1}&x\in Dom(y_{1})\\y_{2}&x\in Dom(y_{2})\end{cases}}$

也是一個解決方案，其定義域為$Dom(y_{1})\cup Dom(y_{2})$。此符號由於上述假設而不會造成歧義。

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示例：y'=y 在不同的區間定義域中

示例

考慮 IVP $y'=y,\,y(0)=1$。因此 $F(x,y)=y$.

${\begin{aligned}y_{1}:\,&]-2,2[\\&x\mapsto e^{x}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}y_{2}:\,&]-1,3[\\&x\mapsto e^{x}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}y_{3}:\,&]-2,3[\\&x\mapsto e^{x}\end{aligned}}$

$y_{1}$

$y_{2}$

$y_{3}$

那麼 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 都滿足定理的所有假設

1. 兩者都是 IVP 的解
2. 兩者都是區域性唯一的，因為 $F(x,y)$ 在其整個定義域中滿足皮卡-林德洛夫定理（$F\in \mathbb {C} ^{1}$，因此它也是區域性利普希茨的）
3. $Dom(y_{1})$ 和 $Dom(y_{2})$ 都是區間，分別為 $]-2,2[$ 和 $]-1,3[$。

然後我們觀察所有結論

1. 在 $Dom(y_{1})\cap Dom(y_{2})=]-1,2[$ 中，$y_{1}=y_{2}$
2. 如果我們固定區間 $]-2,2[$ 和 $]-1,3[$，那麼 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 是唯一具有這些域的解
3. $y={\begin{cases}y_{1}&x\in Dom(y_{1})\\y_{2}&x\in Dom(y_{2})\end{cases}}=y_{3}$

也是 IVP 的解，其域為 $]-2,3[$。

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備註。不同的域，不同的函式

備註 不同的域意味著完全不同的函式。

從集合論中記住，函式只是一個有序對的集合。例如

$f_{1}=\{(0,1)\}$

$f_{2}=\{(0,1),(1,2)\}$

是兩個函式，使得 $Dom(f_{1})={0}$ 以及 $f(0)=1$，並且 $Dom(f_{2})={0,1}$，$f(0)=1$ 以及 $f(1)=2$。請注意，它們在它們域的交集處重合：$f_{1}(0)=f_{2}(0)=1$

然而，它們並不相等。請記住，兩個集合相等當且僅當它們具有完全相同的元素，而對於 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 顯然並非如此，因為 $(1,2)\in f_{2}$ 但 $(1,2)\notin f_{1}$。因此，$f_{1}$ 和 $f_{2}$ 是兩個完全不同的集合，因此也是兩個完全不同的解。

同樣的事情也適用於兩個函式，例如

${\begin{aligned}y_{1}:\,&]-2,2[\,\to \,]e^{-2},e^{2}[\\&x\mapsto e^{x}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}y_{2}:\,&]-1,3[\,\to \,]e^{-1},e^{3}[\\&x\mapsto e^{x}\end{aligned}}$

很多時候，函式的定義域是隱含的，我們忘記了它，通常取最大的可能定義域。但有時取最大的可能定義域可能並不合適。例如，在求解微分方程時，取一個過大的定義域（而不是一個區間）可能不會導致唯一性，這是不可取的。在這些情況下，必須很好地指定我們談論的是什麼定義域。

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反例。不是一個區間。

反例

取 IVP $y'=y,\,y(0)=1$。觀察無窮的解族

${\begin{aligned}y_{a}:&Dom(y_{a})=]-1,1[\,t\cup \,]2,4[\\&x\mapsto {\begin{cases}e^{x}&x\in ]-1,1[\\ae^{(x-3)}&]2,4[\end{cases}}\end{aligned}}$

$y_{a}$ 對於三個 a 值

每個 a 值 ( = (y(3) ) 決定。

這些解滿足定理的所有條件，除了它們的公共域 $]-1,1[\,\cup \,]2,4[$ 不是一個區間。然後我們觀察到所有結論對於 $a\neq a'$ 都是失敗的。

1. 在 $]2,4[\subset Dom(y_{1})\cap Dom(y_{2})$ 內，$y_{a}\neq y_{a'}$
2. 兩者具有相同的域，但 $Dom(y_{a})=Dom(y_{a'})=]-1,1[\,\cup \,]2,4[$，但 $y_{a}\neq y_{a'}$

所有這些都發生是因為初始條件的唯一性無法從 $x_{0}=0$ 傳播到域的另一側 $]2,4[$。

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