常微分方程/高階 1

初始值問題

初始值問題在高階中仍然存在。然而，由於我們需要進行兩次或更多次積分，因此將存在多個積分常數，而且它不總是單個任意常數。在後面的章節中，我們將透過存在性定理說明，在滿足適當條件的初始值問題中，n階方程將有一個解，該解由 n 個任意常數給出，因此通常包含 n 個任意常數。

二階初始值問題

我們來看一個簡單的方程

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=2$.

為了求解此方程，我們進行兩次積分

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=2x+C$

$y=x^{2}+Cx+D.\,$

代入並檢查，這就是解。請注意有兩個未知數。為了求解，我們需要兩個初始條件。對於普通方程來說，這樣做就可以了 - 兩個方程，兩個未知數。這裡的問題是，兩個常數相互依賴。假設我們有以下初始條件

$y(x_{0})=b_{0}\,$ 和 $y(x_{1})=b_{1}.\,$

對於y來說，可能存在多條曲線能夠經過這兩個點。

我們如何解決這個問題？我們無法用兩個關於y的初始條件來解決。相反，我們需要一個關於y和y'的初始條件。更重要的是，它們需要在同一點。我們需要

$y'(a)=b_{0}\,$ 和 $y(a)=b_{1}\,$.

有了這些，您可以代入y'並求解 C，然後求解 D。

n^th 階初始值問題

因此，為了得到n階微分方程的特解，我們需要n個初始條件。初始條件必須採用以下形式

$y(a)=b_{0},\ y'(a)=b_{1},\ y''(a)=b_{2},\ldots ,\ y^{(n)}(a)=b_{n}$

可分離方程

壞訊息 - 可分離方程在高階中實際上並不存在。您最終只得到一小部分可以用這種方式求解的問題。

二階可分離方程

實際上不存在真正的二階或更高階可分離方程。主要是因為我們有 3 個變數。但是，假設我們有一個以下形式的方程

$y''=f(y')g(x).\,$

雖然這不是一個可以分離求解y的方程 - 但對於y'來說是一個一階可分離方程。我們可以用v替換y'（用v'替換y''）並求解v，然後對x積分求解y。

需要示例

n階可分離方程

我們在n階方程中可以做同樣的事情。如果我們有一個如下形式的方程

$y^{(n)}=f(y^{(n-1)})g(x),\,$

我們可以使用可分離技術來求解y^(n-1)，並積分n-1次來求解y。

線性方程

高階線性方程確實存在。但是，它們並不容易求解 - 我們沒有像一階方程那樣簡單的方法。我們將在這章的其他課程中專門討論一個易於求解的子集 - 常係數。

解的存在性和唯一性

在一階方程中，如果函式的所有項都是連續的，我們保證有一個唯一解。在n維空間中，也是類似的。

給定一個初值問題

$y^{(n)}+p_{1}(x)y^{(n-1)}+...+p_{n}(x)y=f(x)\,$

在x=a處有初始條件，如果

$p_{1}(x),\ p_{2}(x),\ldots ,\ p_{n}(x)$ 和 $f(x)\,$

在某個區間 I 上都是連續的。

疊加原理

在許多高階方程中，一個問題可能有多個解。例如，二階微分方程

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-y=0$

既滿足於

$y=C_{1}e^{x}\,$ 也滿足於 $y=C_{2}e^{-x}\,$.

將它們代入 - 它們都能滿足。那麼我們如何得到我們所保證的唯一解呢？

我們將它們加起來。這就是疊加原理

如果 $y_{1}=f(x)\,$ 和 $y_{2}=g(x)\,$ 都是線性微分方程的解，那麼 $y=f(x)+g(x)\,$ 也是一個解。

讓我們說明一下。假設u和v是解，其中y=u和y=v是不同的解，它們由x的函式組成，是微分方程的解

(1)$a{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+cy=0.$

然後，

(2)$a{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}+cu=0$

以及

(3)$a{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} x^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}+cv=0$

二階微分方程需要兩個任意常數才能正確定義。因此，假設通解為

(4)$y=Au+Bv,\,$

其中 A 和 B 是我們的常數。然後，

(5)${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=A{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}+B{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}$

以及

(6)${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=A{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}+B{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} x^{2}}}$

代入原始微分方程（1），我們得到

(7)$a\left(A{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}+B{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)+b\left(A{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}+B{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}\right)+c\left(Au+Bv\right)=0$

現在，重新分組以將所有關於 u 的函式放在一起，並將關於 v 的函式放在一起，我們得到

(8)$A\left(a{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}+cu\right)+B\left(a{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} x^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}+cv\right)=0$

根據我們在(2)和(3)中的定義，我們有

(9)$A\times 0+B\times 0=0\,$

現在，由於A和B只是數字，所以這是正確的，因此我們的原始假設必須是正確的，所以

$y=Au+Bv\,$

是通解，而y=u和y=v是不同的解。現在為了解這個方程，我們需要找到u和v。這將在下一課中完成。