常微分方程/齊次二階方程

介紹

二階方程的通用形式為 $2^{\text{nd}}$ ${\begin{aligned}y''=f(t,y,y').\end{aligned}}$ 如果方程可以寫成 $y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)$ 的形式，我們稱它們為線性非齊次方程，並且如果該方程除了是線性非齊次方程外，還滿足 $g(t)=0$ ，則稱其為線性齊次方程。 $y''+p(t)y'+q(t)y=0.$ 特徵方程法適用於齊次方程，待定係數法和引數變異法適用於非齊次方程。

方法 1：特徵方程

如果方程是線性齊次方程，並且 $p(t),q(t)$ 是常數，則該方程被稱為常係數方程： $ay''+by'+cy=0$ ，我們可以使用特徵方程法來求解這類方程。請注意， $a$ 被假定為非零，因為我們正在處理二階方程。

方法正式步驟

我們假設解的形式為 $y(t)=e^{rt}$ （這被稱為做出一個假設）。這會給出 $(ar^{2}+br+c)e^{rt}=0\Longrightarrow \,ar^{2}+br+c=0,$ 該方程被稱為特徵方程。
因此，要解上述 ODE，只需找到兩個根 $r_{1},r_{2}$ 。
那麼，通解的形式為： $y(t)=c_{1}e^{r_{1}t}+c_{2}e^{r_{2}t}.$

示例-展示方法

考慮一個質量為 $m$ 的物體靜止地懸掛在長度為 $l$ 、彈簧常數為 $k$ 且阻尼係數為 $\gamma$ 的垂直彈簧末端。令 $u\left(t\right)$ 表示物體從平衡位置的位移，單位為英尺。請注意，由於 $u(t)$ 代表的是物體相對於彈簧平衡位置的位移（當重力向下作用的力與彈簧試圖阻止物體進一步拉伸彈簧的力相匹配時得到的那個位置），因此 $u(t)$ 應該向下增加。然後，根據牛頓第三定律，可以得到以下方程式： $mu''(t)+\gamma u'(t)+ku(t)=F(t),$

其中 $F\left(t\right)$ 是任何外力，為了簡化，我們將假設它為零。

首先，我們得到特徵方程： $mr^{2}+\gamma r+k=0.$
假設 $m=1{\text{lb}},\gamma =5{\text{lb}}/{\text{ft}}/{\text{s}}$ 且 $k=6{\text{lb}}/{\text{ft}}$ ，那麼我們得到根 $r_{1}=-2$ 、 $r_{2}=-3$ 。
因此，通解為： $u(t)=c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{-3t}.$
此外，如果 $u(0)=0,\,u'(0)=1$ ，我們得到 $c_{1}=1,c_{2}=-1$ ： $u(t)=e^{-2t}-e^{-3t}.$

示例

考慮 IVP

$4y''-y=0,\,\,y(-2)=1,\,\,y'(-2)=-1.$

我們得到特徵方程 $4r^{2}-1=0\Rightarrow r=\pm {\frac {1}{2}}$ ，因此通解為 $y(t)=c_{1}e^{\frac {t}{2}}+c_{2}e^{-{\frac {t}{2}}}.$
利用初始條件，我們得到： $1=c_{1}e^{-1}+c_{2}e\,{\text{ and }}\,-1={\frac {1}{2}}(c_{1}e^{-1}-c_{2}e).$
解這兩個方程得到： $c_{1}={\frac {-1}{2}}e,c_{2}={\frac {3}{2}}e^{-1}$ ，因此我們 IVP 的解為： $y\left(t\right)=-{\frac {1}{2}}e^{1+{\frac {t}{2}}}+{\frac {3}{2}}e^{-{\frac {t}{2}}-1}.$
因此，當 $t\to +\infty$ 時，我們得到 $y\to -\infty$ .

考慮 IVP

$y''+5y'+6y=0,\,\,y\left(0\right)=2,\,\,y'\left(0\right)=\beta$

特徵方程為 $r^{2}+5r+6=0\Rightarrow r=-2,-3$ ，因此通解為： $y(t)=c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{-3t}$
利用初始條件，我們得到： $2=c_{1}+c_{2}\,{\text{ and }}\,\beta =-2c_{1}-3c_{2}.$
解這兩個方程得到： $c_{1}=(6+\beta ),\,c_{2}=-\left(4+\beta \right)$ ，因此我們 IVP 的解為： $y(t)=(6+\beta )e^{-2t}-(4+\beta )e^{-3t}.$
因此，當 $t\to +\infty$ 時，我們得到 $y\to 0$ 。