常微分方程/齊次 x 和 y

不要與齊次方程混淆，關於 x 和 y 的 n 次齊次方程是一個形式為$$F(x,y,y')=0$$的方程，使得

$a^{n}F(x,y,y')=F(ax,ay,y')$.

然後該方程可以採用以下形式

$x^{n}F\left(1,{\frac {y}{x}},y'\right)=0$

這本質上是另一種形式

$x^{n}F\left({\frac {y}{x}},y'\right)=0$.

如果我們可以針對 $y'$求解此方程，然後我們可以輕鬆地使用前面提到的代換法求解此方程。但是，假設它更易於針對 ${\frac {y}{x}}$求解，

${\frac {y}{x}}=f(y')$

這樣

$y=xf(y')$.

我們可以對它進行微分，得到

$y'=f(y')+xf'(y'){\frac {dy'}{dx}}$

然後重新排列，

${\frac {dx}{x}}={\frac {f'(y')}{y'-f(y')}}dy'$

這樣，在積分之後，

$ln(x)=\int {\frac {f'(y')}{y'-f(y')}}dy'+C$

我們得到

$x=Ce^{\int {\frac {f'(y')}{y'-f(y')}}dy'}$

因此，如果我們可以從兩個聯立方程中消去 y'

$y=xf(y')$

以及

$x=Ce^{\int {\frac {f'(y')}{y'-f(y')}}dy'}$,

那麼我們可以得到一般解。

齊次常微分方程

如果 $a^{\alpha }P(x,y)=P(ax,ay)$，則函式 P 是 α 階齊次的。齊次常微分方程是一個形式為 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 的方程，其中 P 和 Q 是同一階的齊次函式。

萊布尼茨在 1691 年首次使用以下方法來求解齊次常微分方程。使用代換 y=vx 或 x=vy，我們可以將方程轉化為可分離方程。

${\frac {dy}{dx}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)$

$v(x,y)={\frac {y}{x}}$

$y=vx\,$

現在我們需要找到v'

${\frac {dy}{dx}}=v+{\frac {dv}{dx}}x$

代入原方程

$v+x{\frac {dv}{dx}}=F(v)$

${\frac {dv}{dx}}={\frac {F(v)-v}{x}}$

求解v(x)，然後代入v的方程得到y

$y(x)=xv(x)\,$

再次強調，不要死記硬背公式。記住一般方法，並應用它。

示例2

${\frac {dy}{dx}}=5{\frac {y}{x}}+3{\frac {x}{y}}$

讓我們用 $v={\frac {y}{x}}$. 求解 $y'(x,v,v')$

$y=vx\,$

${\frac {dy}{dx}}=v+x{\frac {dv}{dx}}$

現在代入原方程

$v+x{\frac {dv}{dx}}=5v+{\frac {3}{v}}$

$x{\frac {dv}{dx}}=4v+{\frac {3}{v}}$

$v{\frac {dv}{dx}}={\frac {(4v^{2}+3)}{x}}$

求解v

${\frac {vdv}{4v^{2}+3}}={\frac {dx}{x}}$

$\int {\frac {vdv}{4v^{2}+3}}=\int {\frac {dx}{x}}$

${\frac {1}{8}}\ln(4v^{2}+3)=\ln(x)$

$4v^{2}+3=e^{8\ln(x)}\,$

$4v^{2}+3=e^{\ln(x^{8})}\,$

$4v^{2}+3=x^{8}\,$

$v^{2}={\frac {x^{8}-3}{4}}$

將 v 代入其定義中得到 y。

$y=vx\,$

$y^{2}=v^{2}x^{2}\,$

$y^{2}={\frac {x^{10}-3x^{2}}{4}}$

我們將其保留在 $y^{2}$ 的形式，因為求解 y 會丟失資訊。

注意，一般解中應該有一個積分常數。新增它留作練習。

示例 3

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{\sin({\frac {y}{x}})}}+{\frac {y}{x}}$

讓我們再次使用 $v={\frac {y}{x}}$。求解 $y'(x,v,v')$

$y=vx\,$

${\frac {dy}{dx}}=v+x{\frac {dv}{dx}}$

現在代入原方程

$v+x{\frac {dv}{dx}}={\frac {x}{\sin(v)}}+v$

$x{\frac {dv}{dx}}={\frac {x}{\sin(v)}}$

$\sin(v)dv=dx$

求解v

$\int \sin(v)dv=\int dx$

$-\cos v=x+C\,$

$v=\arccos(-x+C)\,$

利用 *v* 的定義解出 *y*。

$y=vx\,$

$y=\arccos(-x+C)x\,$

線性表示式商的函式方程

給定方程 $dy+f\left({\frac {a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}}\right)dx=0$，

我們可以做替換 x=x'+h 和 y=y'+k，其中 h 和 k 滿足線性方程組

$a_{1}h+b_{1}k+c_{1}=0$
$a_{2}h+b_{2}k+c_{2}=0$

這將它轉換為一個 0 階齊次方程

$dy+f\left({\frac {a_{1}x'+b_{1}y'}{a_{2}x'+b_{2}y'}}\right)dx=0$