常係數齊次方程的一個應用是在機械振動中。想象一個包含彈簧、阻尼器和質量的機械系統。任何時刻彈簧上的力是 F = − k x {\displaystyle F=-kx} ，其中 k 是彈簧常數。阻尼器上的力是 F = − c v {\displaystyle F=-cv} ，其中 c 是阻尼常數。當然，合力是 F = m a {\displaystyle F=ma} 。這給了我們一個系統，其中
m a = − c v − k x {\displaystyle ma=-cv-kx}
記住 v = x ′ {\displaystyle v=x'} 以及 a = x ″ {\displaystyle a=x''} 。這給了我們一個微分方程：
m x ″ = − c x ′ − k x {\displaystyle mx''=-cx'-kx}
m x ″ + c x ′ + k x = 0 {\displaystyle mx''+cx'+kx=0}
在 c=0 的情況下，我們只有一個質量在彈簧上。在這種情況下，我們有 x ″ + k m x = 0 {\displaystyle x''+{\frac {k}{m}}x=0} 。由於 k 和 m 都是正數（根據物理定律），結果始終是 y = c 1 c o s ( k m x ) + c 2 s i n ( k m x ) {\displaystyle y=c_{1}cos({\sqrt {\frac {k}{m}}}x)+c_{2}sin({\sqrt {\frac {k}{m}}}x)} 。從物理角度來看這是有道理的——一個來回運動的彈簧形成一個頻率為 k m 2 π {\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {k}{m}}}{2\pi }}} 的週期波。
