常微分方程/齊次 4

1)

$3y''+18y'-81y=0$

步驟 1：將方程寫成 $C_{1}y^{(n)}+C_{2}y^{(n-1)}+...+C_{n+1}y=0$ 的形式。

$y''+6y'-27y=0$

步驟 2：求解方程 $C_{1}r^{n}+C_{2}r^{n-1}+...+C_{n+1}$ 的根。

$r^{2}+6r-27=0$

$r=-9,3$

步驟 3：你的結果是 $y=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+...+c_{n}e^{r_{n}x}$

$y=c_{1}e^{-9x}+c_{2}e^{3x}$

2)

$y''+6y'+13y=0$

步驟 1：將方程寫成 $C_{1}y^{(n)}+C_{2}y^{(n-1)}+...+C_{n+1}y=0$ 的形式。

$y''+6y'+13y=0$

步驟 2：求解方程 $C_{1}r^{n}+C_{2}r^{n-1}+...+C_{n+1}$ 的根。

$r^{2}+6r+13=0$

$r=-3\pm 2i$

步驟 3：你的結果是 $y=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+...+c_{n}e^{r_{n}x}$

$y=e^{-3x}(c_{1}cos(2x)+c_{2}sin(2x))$

3)$y''+10y'+25y=0$

步驟 1：將方程寫成 $C_{1}y^{(n)}+C_{2}y^{(n-1)}+...+C_{n+1}y=0$ 的形式。

$y''+10y'+25y=0$

步驟 2：求解方程 $C_{1}r^{n}+C_{2}r^{n-1}+...+C_{n+1}$ 的根。

$r^{2}+10r+25=0$

$r=-5,-5$

步驟 3：你的結果是 $y=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+...+c_{n}e^{r_{n}x}$

$y=c_{1}e^{-5x}+c_{2}xe^{-5x}$

4)

$y''''+24y'''+218y''+838y'+1369y=0$

步驟 1：將方程寫成 $C_{1}y^{(n)}+C_{2}y^{(n-1)}+...+C_{n+1}y=0$ 的形式。

$y''''+24y'''+218y''+838y'+1369y=0$

步驟 2：求解方程 $C_{1}r^{n}+C_{2}r^{n-1}+...+C_{n+1}$ 的根。

$r^{4}+24r^{3}+218r^{2}+838r+1369=0$

$r=-6-i,-6+i,-6-i,-6+i$

步驟 3：你的結果是 $y=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+...+c_{n}e^{r_{n}x}$

$y=e^{-6x}(c_1$

5)

$y'''-2y''-15y'+36y=0$

步驟 1：將方程寫成 $C_{1}y^{(n)}+C_{2}y^{(n-1)}+...+C_{n+1}y=0$ 的形式。

$y'''-2y''-15y'+36y=0$

步驟 2：求解方程 $C_{1}r^{n}+C_{2}r^{n-1}+...+C_{n+1}$ 的根。

$r^{3}-2r^{2}-15r+36=0$

$r=-4,3,3$

步驟 3：你的結果是 $y=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+...+c_{n}e^{r_{n}x}$

$y=c_{1}e^{-4x}+c_{2}e^{3x}+c_{3}xe^{3x}$

6)

$y'''+5y''-4y'-20y=0$

步驟 1：將方程寫成 $C_{1}y^{(n)}+C_{2}y^{(n-1)}+...+C_{n+1}y=0$ 的形式。

$y'''+5y''-4y'-20y=0$

步驟 2：求解方程 $C_{1}r^{n}+C_{2}r^{n-1}+...+C_{n+1}$ 的根。

$r^{3}+5r^{2}-4r-20=0$

$r=2,-2,-5$

步驟 3：你的結果是 $y=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+...+c_{n}e^{r_{n}x}$

$y=c_{1}e^{2x}+c_{2}e^{-2x}+c_{3}e^{-5x}$

7)

$y'''+4y''+y'-26y=0$

步驟 1：將方程寫成 $C_{1}y^{(n)}+C_{2}y^{(n-1)}+...+C_{n+1}y=0$ 的形式。

$y'''+4y''+y'-26y=0$

步驟 2：求解方程 $C_{1}r^{n}+C_{2}r^{n-1}+...+C_{n+1}$ 的根。

$r^{3}+4r^{2}+r-26=0$

$r=-3+2i,-3-2i,2$

步驟 3：你的結果是 $y=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+...+c_{n}e^{r_{n}x}$

$y=c_{1}e^{2x}+e^{-3x}(c_{2}cos(2x)+c_{3}sin(2x))$