常微分方程/導論

可直接積分的微分方程

一個常微分方程的例子是方程

x'(t)=0

.

求解這個方程意味著我們要找到一個定義在某個區間 $I=(a,b)$ 上的函式 $x:I\to \mathbb {R}$ ，使得上面的方程對於所有 $t\in I$ 都成立。也就是說，與諸如

x-3={\frac {1}{2}}

,

這樣的“普通”代數方程的解是一個數字（在本例中是 $x={\frac {7}{2}}=3.5$ ）不同，常微分方程的解是一個函式。

微積分中有一個定理說，一個在連通區間 $I=(a,b)$ 上的可微函式 $x:I\to \mathbb {R}$ 導數為零當且僅當它是一個常數函式。因此，方程

x'(t)=0

的解正是常數函式 $x\equiv c$ ( $c\in \mathbb {R}$ )。這裡要注意，我們失去了解的唯一性（我們在代數方程的例子中擁有的）；每個常數函式都是解。我們稍後將能夠透過施加初始條件來恢復解的唯一性（至少在某些特殊情況下）；例如，如果我們另外要求

x(t_{0})=x_{0}\in \mathbb {R}

(我們還需要 $t_{0}$ 包含在解區間 $I$ 內)，那麼我們只有一個選擇來求解我們的方程： $c=x_{0}$ .

讓我們轉向一個稍微複雜一些的微分方程

x'(t)=f(t)

對於某個函式 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 。在這種情況下，根據微積分基本定理，我們有

x(t)=\int _{t_{0}}^{t}f(s)ds+C

，其中

t_{0}

包含在解區間

I

中，

其中 $C\in \mathbb {R}$ 是一個任意積分常數。當然， $C$ 的任意性意味著我們有無限多個解，但是透過強加一個初始條件 $x(t_{0})=x_{0}$ ，我們得到 $C$ 必須等於 $x_{0}$ ，因此，如果我們還要求滿足初始條件，我們再次得到了唯一的解。

練習

在初始條件 $x(0)=0$ 下，求解微分方程 $x'(t)=t^{2}$ 。更一般地，在初始條件 $x(2-k)=k-2$ 下，求解微分方程 $x'(t)=t^{k}$ 。

常微分方程的階

我們可能不會考慮方程

x'(t)=0

,

而是考慮方程

x''(t)=0

，或者更一般地，

x''(t)=f(t)

對於一些函式 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ . 請注意區別：之前我們只有了一階導數，現在我們有了二階導數。新方程仍然是一個常微分方程（我們將在結束時給出常微分方程的精確定義，當我們完成了簡單的例子時），但這次涉及二階導數。這導致了以下定義。

定義 1.1（常微分方程的階數）:

常微分方程的階數定義為其中出現的最高階導數的階數。也就是說，如果 $x^{(n)}$ 出現於常微分方程中，但對於所有 $m>n$ ， $x^{(m)}$ 不出現在常微分方程中，則 $n$ 是該常微分方程的階數。

事實上，對於上面的例子，我們可以很容易地使用積分來計算解。如果 $x''(t)=0$ ，則 $x'(t)=c_{1}$ ，其中 $c_{1}\in \mathbb {R}$ 是一個常數。因此，再次積分，我們得到

x(t)=\int _{t_{0}}^{t}x'(s)ds=(t-t_{0})c_{1}+c_{2}

對於一些常數 $c_{2}\in \mathbb {R}$ .

練習

常微分方程 $x'(t)+2x''(t)+3x'''(t)=2t$ 的階數是多少？ODE $x^{(k)}(t)=t^{2}$ 的階數是多少？根據最後一個問題，寫下一個 23 階的常微分方程。
在條件 $x(0)=1$ 和 $x(1)=2$ 下求解微分方程 $x''(t)=t^{3}$ 。

線性微分方程

考慮微分方程

x'(t)=cx(t)

,

其中 $c\in \mathbb {R}$ 是一個任意常數。這個微分方程有一個顯著的性質：當 $x_{1},x_{2}$ 是它的解時， $ax_{1}+bx_{2}$ 也是它的解，對於任意 $a,b\in \mathbb {R}$ （實際上，複數也是允許的）。更一般地，解的任何線性組合仍然是解。這是導數線性性的直接結果，如下所示