常微分方程/等斜線 1

一階微分方程

等斜線

等斜線使用另一種方法來消除變數。我們不計算 y'，而是將其設為一個常數。然後我們解出 y 並繪製結果方程。通常你會看到幾個不同的常數疊加在一個圖上，這樣你可以看到不同值之間的比較。

等斜線來自希臘語中“相同斜率”的詞。等斜線是一條連線相鄰具有相同梯度的點的線，就像地圖上的等高線連線所有具有相同高度的相鄰點一樣。這意味著等斜線表示當邊界條件發生變化時，解曲線上一點會發生什麼，即 當 C 發生變化時，解是如何變化的。當我們考慮許多等斜線時，它可以幫助我們理解當 C 發生變化時，解是如何“變形”到彼此的。

示例 1: y'=f(x)

圖 1: y'=x 的斜率場（黑色）和一些解（紅色）

圖 2: y'=x 的斜率場（黑色）、一些解（紅色）和等斜線（藍色）

當因變數的導數設為自變數的函式時，那麼

${\frac {dy}{dx}}=f(x),$

然後解的斜率僅取決於 x。這意味著 DE 的斜率場只會從左到右改變 - 斜率不會從一點變化到它正上方或正下方的那一點。這可以在圖 1 中看到，它顯示了

${\frac {dy}{dx}}=x$

以及一些解。正如你所看到的，對應於不同 C 值的不同解彼此直接位於上方和下方。DE 的等斜線透過將 y' 設為一個常數給出

${\frac {dy}{dx}}=k$

從原始 DE，我們現在有

$x=k\,$

圖 2 顯示了一組對應於一系列 k 的等斜線疊加在圖 1 上。我們可以看到這些是垂直線。這意味著解曲線上的一個點的軌跡將是當 C 變化時相應的等斜線。因此，當 C 變化時，解曲線上的一個點將垂直向上和向下移動，因此整個曲線將向上和向下移動。然而，沒有保證所有點在相同的 C 變化量中都會移動相同的量。

對於所有形式為

${\frac {dy}{dx}}=f(x).$

示例 2: y'=f(y)

圖 3: y'=y 的斜率場（黑色）和一些解（紅色）

圖 4: y'=y 的斜率場（黑色）、一些解（紅色）和等斜線（藍色）

DE 形式為

${\frac {dy}{dx}}=f(y),$

但等斜線是水平的。這是因為解的梯度與 x 的值無關。例如，考慮

${\frac {dy}{dx}}=y,$

的解。DE 的解和斜率場如圖 3 所示。等斜線由

${\frac {dy}{dx}}=k$

從原始 DE，我們現在有

$y=k.\,$

給出。圖 4 中疊加了一組這樣的等斜線。人們可以很容易地看到所有解只是其他解的左右平移。透過改變 C，解會左右移動。然而，它們移動的量對於 C 的線性變化來說不是線性的，這由紅色曲線之間越來越大的間距所表明。等斜線沒有傳達這個資訊。

水平等斜線是所有形式為

${\frac {dy}{dx}}=f(y).$

示例 3: y'=f(x,y)

圖 5: y'=xy 的斜率場（黑色）和一些解（紅色）

圖 6: y'=xy 的斜率場（黑色）、一些解（紅色）和等斜線（藍色）

最後一種等斜線型別是屬於 DE 的形式

${\frac {dy}{dx}}=f(x,y).$

對於這些，沒有像前兩個示例那樣的萬能規則，但等斜線仍然很容易計算。

考慮 DE

${\frac {dy}{dx}}=xy$

等傾線由以下方程給出：

$xy=k,\,$

圖 6 中繪製了不同 *k* 值的等傾線。您可以看到，解曲線的點將垂直地趨向於原點，並水平地遠離原點（反之亦然，C 改變方向）。這意味著隨著 C 的變化，解將變得越來越平底/頂部，越來越寬或越來越窄，越來越尖。

此類微分方程的等傾線的形狀取決於原始方程。