常微分方程/拉普拉斯變換

定義

設 $f(t)$ 是 $[0,\infty )$ 上的函式。 $f$ 的**拉普拉斯變換** 由以下積分定義：

$F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt\,.$

$F(s)$ 的定義域是使積分存在的 $s$ 的所有值。

性質

線性

設 $f$ 和 $g$ 是在 $s>\alpha$ 處存在拉普拉斯變換的函式，設 $a$ 和 $b$ 為常數。那麼，對於 $s>\alpha$，

${\mathcal {L}}\{af+bg\}=a{\mathcal {L}}\{f\}+b{\mathcal {L}}\{g\}\,,$

這可以透過使用不當積分的性質來證明。

s 中的平移

如果拉普拉斯變換 ${\mathcal {L}}\{f\}(s)=F(s)$ 存在於 $s>\alpha$，則

${\mathcal {L}}\{e^{at}f(t)\}(s)=F(s-a)\,$

對於 $s>\alpha +a$.

證明：

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{e^{at}f(t)\}(s)&{}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}e^{at}f(t)dt\\&{}=\int _{0}^{\infty }e^{-(s-a)t}f(t)dt\\&{}=F(s-a)\,.\end{aligned}}$

高階導數的拉普拉斯變換

如果 $F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}$，則 ${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)$

證明

${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=\int _{0}^{\infty }f'(t)e^{-st}dt$

$=\lim _{C\to \infty }\int _{0}^{C}f'(t)e^{-st}dt$

$=\lim _{C\to \infty }\left.e^{-st}f(t)\right|_{0}^{C}-\int _{0}^{C}-sf(t)e^{-st}dt$（分部積分）

$=-f(0)+s\lim _{C\to \infty }\int _{0}^{C}f(t)e^{-st}dt$

$=s{\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0)$

$=sF(s)-f(0)\,$

利用以上公式和拉普拉斯變換的線性性質，很容易證明 ${\mathcal {L}}\{f''(t)\}=s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)$

拉普拉斯變換的導數

如果 ${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)$，則 ${\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)$

一些簡單函式的拉普拉斯變換

1. ${\mathcal {L}}\{1\}={1 \over s}$
2. ${\mathcal {L}}\{e^{at}\}={1 \over s-a}$
3. ${\mathcal {L}}\{\cos \omega t\}={s \over s^{2}+\omega ^{2}}$
4. ${\mathcal {L}}\{\sin \omega t\}={\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$
5. ${\mathcal {L}}\{1\}={1 \over s}$
6. ${\mathcal {L}}\{t^{n}\}={n! \over s^{n+1}}$