在數學中，勒讓德微分方程為
它們以阿德里安-馬裡·勒讓德命名。該常微分方程在物理學和其他技術領域經常遇到。特別是，它出現在求解球座標中的拉普拉斯方程（以及相關偏微分方程）時。
勒讓德微分方程可以使用標準冪級數方法求解。該方程在 x = ± 1 {\displaystyle x=\pm 1} 處具有正則奇點，因此，一般來說，關於原點的級數解僅在 | x | < 1 {\displaystyle \left\vert x\right\vert <1} 時收斂。當n是整數時，在 x = 1 {\displaystyle x=1} 處為正則的解 P n ( x ) {\displaystyle P_{n}\left(x\right)} 也在 x = − 1 {\displaystyle x=-1} 處為正則，並且此解的級數終止（即為多項式）。
對於 n = 0 , 1 , 2 … {\displaystyle n=0,1,2\dots } 的解（歸一化為 P n ( 1 ) = 1 {\displaystyle P_{n}\left(1\right)=1} ）形成一個正交多項式序列，稱為勒讓德多項式。每個勒讓德多項式 P n ( x ) {\displaystyle P_{n}\left(x\right)} 是一個n次多項式。它可以使用羅德里格斯公式表示
![{\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd51c7228067db4bea119843fb19c6caab834954)
![{\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9414fbe11099d281205ca2a2f051f405c2d348c)