常微分方程/線性方程

線性方程與線性運算元

一般線性方程的形式為

$P_{0}(x)y^{(n)}+P_{1}(x)y^{(n-1)}+...+P_{n}y=Q(x)$,

其中，我們將假設係數函式 $P_{i}(x)$ 和 Q(x) 在區間 [a,b] 上是連續函式，並且 $P_{0}(x)\neq 0$ 對於所有 $x\in [a,b]$。存在定理證明，存在一個唯一的解，它經過點 $(x_{0},y_{0})$ 其中 $x\in [a,b]$，具有直到 n-1 階的連續導數，並在 $x_{0}$ 滿足每個導數的初始條件。

也可以寫成

$L(y)=(P_{0}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}+P_{1}{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}+...+P_{n})y=Q(x)$

其中 L 稱為 **n 階線性微分運算元**。

形式為 L(y)=0 的微分方程，與上面的線性微分運算元相同，被稱為上面方程的 *齊次方程* 和上面方程的 *降階方程*。

現在我們將證明關於線性微分運算元的某些性質。

線性微分運算元

$L(C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2})=C_{1}L(y_{1})+C_{2}L(y_{2})$ 這是因為微分是線性的。因此，我們可以得出以下兩個結論

• 如果 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 是齊次方程的兩個解，那麼 $C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}$ 也是一個解。
• 如果 y 是齊次方程 L(y)=0 的解，並且 $y_{0}$ 是方程 L(y)=Q(x) 的解，那麼 $y+y_{0}$ 也是方程 L(y)=Q(x) 的解。

朗斯基行列式

設 L(y)=0 是 n 次齊次方程，並設 $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ 是該方程的線性無關解。

則一般解為 $y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}+...+C_{n}y_{n}$.

假設解不是線性無關的。那麼存在 $C_{1},C_{2},...,C_{n}$ 不全為零的值，使得 $C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}+...+C_{n}y_{n}$=0。

那麼以下方程也成立

$C_{1}y_{1}'+C_{2}y_{2}'+...+C_{n}y_{n}'=0$
$C_{1}y_{1}''+C_{2}y_{2}''+...+C_{n}y_{n}''=0$
...
$C_{1}y_{1}^{(n-1)}+C_{2}y_{2}^{(n-1)}+...+C_{n}y_{n}^{(n-1)}=0$

當此齊次線性方程組有非平凡解時，對應於每個係數的列向量線性相關。這等價於說以下行列式，稱為 **朗斯基行列式** 為 0

${\begin{Vmatrix}y_{1}&y_{2}&...&y_{n}\\y_{1}'&y_{2}'&...&y_{n}'\\y_{1}''&y_{2}''&...&y_{n}''\\...&...&...&...\\y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&...&y_{n}^{(n-1)}\\\end{Vmatrix}}=0$

因此，如果解是相關的，那麼它們的朗斯基行列式等於 0，反之亦然，反之，如果朗斯基行列式等於 0，那麼該矩陣的列必須線性相關，表明解是線性相關的。