常微分方程/線性系統

微分方程組是由兩個或多個微分方程組成的集合，每個ODE可能依賴於其他未知函式。

例如，考慮以下方程

${\begin{cases}x'(t)=2x(t)+y(t)\\y'(t)=3y(t)\end{cases}}$

在這種情況下，$x'(t)$ 的微分方程依賴於 $x(t)$ 和 $y(t)$ 。原則上，我們也可以允許 $y'(t)$ 依賴於 $x$ 和 $y$ ，但這不是必需的。

請注意，在某些情況下，我們找到了ODE系統的一個解。例如，在上面的例子中，因為 $y'$ 不依賴於 $x$ ，我們可以解第二個方程（透過分離變數或使用積分因子）得到 $y=C_{2}e^{3t}$ 。由於當我們解決第一個ODE時會存在第二個常數，因此我們選擇在此處將常數稱為 $C_{2}$ 。現在，我們可以將其代入第一個方程，得到：$x'=2x+C_{2}e^{3t}$ 。我們可以使用積分因子來解這個方程，得到

${\begin{cases}x(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{3t}\\y(t)=C_{2}e^{3t}\end{cases}}$

在其他情況下，巧妙的變數變化允許分離兩個ODE。考慮以下系統

${\begin{cases}x_{1}'(t)=4x_{1}(t)+2x_{2}(t)\\x_{2}'(t)=2x_{1}(t)+4x_{2}(t)\end{cases}}$

.

如果我們令$y_{1}=x_{1}+x_{2}$ 和 $y_{2}=x_{1}-x_{2}$。然後我們發現

${\begin{cases}y_{1}'(t)=6y_{1}(t)\\y_{2}'(t)=2y_{2}(t)\end{cases}}$

並且每個方程都很容易求解：$y_{1}=C_{1}e^{6t}$ 和 $y_{2}=C_{2}e^{2t}$。因此，我們發現 $x_{1}=C_{1}e^{6t}+C_{2}e^{2t}$ 和 $x_{1}=C_{1}e^{6t}-C_{2}e^{2t}$。事實證明，對於系統使用向量和矩陣進行運算會很有幫助，因此，如果我們引入$\textstyle {\vec {x}}(t)={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}.$。那麼上述系統可以改寫為

${\frac {d}{dt}}{\vec {x}}(t)={\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}}{\vec {x}}(t).$

並且我們有解${\vec {x}}_{1}(t)=C_{1}e^{6t}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ 和 ${\vec {x}}_{2}(t)=C_{2}e^{2t}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$

注意我們找到的解的形式為$e^{\lambda t}{\vec {\xi }}$，其中${\vec {\xi }}$ 是某個常數向量。以此為出發點，我們將研究以下問題：何時${\vec {x}}(t)=e^{\lambda t}{\vec {\xi }}$ 能解該系統？

${\frac {d}{dt}}{\vec {x}}(t)=A{\vec {x}}(t).$

其中$A$ 是某個常數矩陣。

透過代入方程，我們發現

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}(e^{\lambda t}{\vec {\xi }})&=A(e^{\lambda t}{\vec {\xi }})\\\lambda e^{\lambda t}{\vec {\xi }}&=e^{\lambda t}A{\vec {\xi }}\\e^{\lambda t}(A-\lambda I){\vec {\xi }}&={\vec {0}}.\end{aligned}}$

由於$e^{\lambda t}\neq 0$，左側等於${\vec {0}}$ 的唯一方法是$\lambda$ 是一個特徵值，而${\vec {\xi }}$ 是對應的特徵向量。

但這並不是故事的結尾。當矩陣為實數時，我們將考慮以下幾種情況