常微分方程/區域性線性

我們將研究自治系統 $$\mathrm {x} '=\mathrm {f} (\mathrm {x} ),$$ 其中 $\mathrm {f}$ 的分量是 $C^{1}$ 函式，以便我們能夠對它們進行一階泰勒展開。形式為 $$\mathrm {x} '=\mathrm {A} \mathrm {x} +\mathrm {g} (\mathrm {x} )$$ 的系統稱為 $\mathrm {x} _{0}$ 附近 **區域性線性** 的 $\mathrm {f}$ 臨界點，如果 $${\frac {\left\|\mathrm {g} (\mathrm {x} )\right\|}{\left\|\mathrm {x} -\mathrm {x} _{0}\right\|}}\to 0{\text{ as }}\mathrm {x} \to \mathrm {x} _{0}.$$

展示方法的示例

我們研究阻尼振盪擺系統：$${\frac {dx}{dt}}=y,\,{\frac {dy}{dt}}=-\gamma y-\omega ^{2}\sin(x),$$ 其中 $\gamma$ 稱為阻尼常數，正如在彈簧問題中一樣，它負責消除能量。

1. 首先我們找到臨界點。從上一節我們有：$$(k\pi ,0){\text{ for any integer }}k.$$
2. 其次，我們對系統 $\mathrm {F} (x,y):={\bigl (}{\begin{smallmatrix}y\\\\-\gamma y-\omega ^{2}\sin(x)\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ 右側在任意臨界點 $(x_{0},y_{0})$ 附近進行泰勒展開：$${\begin{aligned}\mathrm {F} (x,y)&=\mathrm {F} (x_{0},y_{0})+\mathrm {J} _{\mathrm {F} }(x_{0},y_{0}){\binom {x-x_{0}}{y-y_{0}}}+o(\left\|(x-x_{0},y-y_{0})\right\|)\\&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\&\\-\omega ^{2}\cos(x_{0})&-\gamma \end{smallmatrix}}{\bigr )}{\binom {x-x_{0}}{y-y_{0}}}+o(\left\|(x-x_{0},y-y_{0})\right\|).\end{aligned}}$$
3. 這裡 $\mathrm {J} _{\mathrm {F} }(x_{0},y_{0})$ 是雅可比矩陣在 $(x_{0},y_{0})$ 處的，對於函式 $\mathrm {F} (x,y)={\binom {\mathrm {F} _{1}(x,y)}{\mathrm {F} _{2}(x,y)}}$，定義為：$${\begin{aligned}J_{\mathrm {F} }(x_{0},y_{0}):={\bigl (}{\begin{smallmatrix}{\frac {\mathrm {d} \mathrm {F} _{1}}{\mathrm {d} x}}(x_{0},y_{0})&{\frac {\mathrm {d} \mathrm {F} _{1}}{\mathrm {d} y}}(x_{0},y_{0})\\&\\{\frac {\mathrm {d} \mathrm {F} _{2}}{\mathrm {d} x}}(x_{0},y_{0})&{\frac {\mathrm {d} \mathrm {F} _{2}}{\mathrm {d} y}}(x_{0},y_{0})\end{smallmatrix}}{\bigr )}\end{aligned}}$$
4. 在 $(x_{0},y_{0})=(k\pi ,0)$ 處的線性化，對於偶整數 $k$ 是：$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\binom {x}{y}}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\&\\-\omega ^{2}&-\gamma \end{smallmatrix}}{\bigr )}{\binom {x-k\pi }{y}}+o(\left\|(x-k\pi ,y)\right\|).$$
5. 該矩陣的特徵值為：$$\lambda _{1},\,\lambda _{2}={\frac {-\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-4\omega ^{2}}}}{2}}.$$
6. 如果$\gamma ^{2}-4\omega ^{2}>0$，則特徵值為實數，互異且為負。因此，臨界點將是穩定節點。我們觀察到，每個偶數整數臨界點的吸引盆地是良好分離的。
7. 如果$\gamma ^{2}-4\omega ^{2}=0$，則特徵值是重複的，實的且為負。因此，臨界點將是穩定節點。
8. 如果$\gamma ^{2}-4\omega ^{2}<0$，則特徵值為複數，實部為負。因此，臨界點將是穩定的螺旋沉點。
9. 圍繞$(x_{0},y_{0})=(k\pi ,0)$的線性化，對於奇數整數$k$為：$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\binom {x}{y}}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\&\\\omega ^{2}&-\gamma \end{smallmatrix}}{\bigr )}{\binom {x-k\pi }{y}}+o(\left\|(x-k\cdot \pi ,y)\right\|).$$
10. 該矩陣的特徵值為：$$\lambda _{1},\,\lambda _{2}={\frac {-\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}+4\omega ^{2}}}}{2}}.$$
11. 因此，它有一個負特徵值$\lambda _{1}<0$和一個正特徵值$\lambda _{2}>0$，因此臨界點將是不穩定的鞍點。