常微分方程/解的最大定義域

即使微分方程滿足皮卡-林德洛夫定理，它可能仍然沒有一個解對所有 $\mathbb {R}$ 都是由單個初始條件唯一確定的。在這裡，我們研究解可以擴充套件到的最大區間。

區間上解的唯一性

定理區域性唯一性意味著區間上的全域性唯一性

假設

y 是 IVP 的解
y 是區域性唯一的（例如，透過皮卡-林德洛夫定理）
y 的定義域是一個區間（包含 $x_{0}$ ，否則初始條件沒有意義）

y(x) 是該 IVP 的唯一解，其定義域為該區間。

最大解

定義

定義最大解和解的最大定義域

最大解 $y_{max}$ 是一個區域性唯一的 IVP 的解，滿足

它的定義域是一個區間（包含 $x_{0}$ ，否則初始條件沒有意義）
不是任何其他解的限制，其定義域是一個更大的區間

$Dom(y_{max})$ 稱為解的最大定義域，記為 $]x_{-},x_{+}[$

唯一性

定理每個 IVP 都有一個唯一的最大解

定理如果存在一個解 $y_{\mathbb {R} }$ 其定義域為 $\mathbb {R}$ ，那麼它就是最大解。

我們必須驗證

$Dom(y_{\mathbb {R} })$ 是一個區間。顯然成立。
$y_{\mathbb {R} }$ 不是任何其他解的限制。因為 $y_{\mathbb {R} }$ 的定義域已經是整個 $\mathbb {R}$ 。

邊界處的行為

定理最大解在邊界處的行為

假設

最大解的定義域小於無窮大 ( $x_{\pm }\neq \pm \infty$ )

在 $x_{\pm }$ 處，會發生以下情況之一或兩者

有限時間內爆炸： $\lim _{x\to x_{\pm }}||y(x)||=\infty$
y 退出 F 的定義域： $\lim _{x\to x_{\pm }}\in {\overline {Dom(F)}}$

Dom(y) = R 的充分條件

定理最多線性增長意味著 $Dom(y)=\mathbb {R}$

假設

如果 $F$ 最多線性增長於 $y$ ，

\|F(x,y)\|\leq a\,\|y\|+b,

那麼最大解的定義域就是整個 $\mathbb {R}$

例子

===\begin{cases} y'=y, \\ y(0)=1 \end{cases}===

例子 $y'=y,\,y(0)=1$ 有無窮多個解

F(x,y)=y，它在 x 和 y 都是 $C^{1}$ ，因此滿足 Picard–Lindelöf 定理在其整個定義域，因此解在區域性唯一。

以下所有都是該 IVP 的解

${\begin{aligned}y_{1}:\,&]-2,2[\,\to \,]e^{-2},e^{2}[\\&x\mapsto e^{x}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}y_{2}:\,&]-1,3[\,\to \,]e^{-1},e^{3}[\\&x\mapsto e^{x}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}y_{\mathbb {R} }:\,&\mathbb {R} ,\to \,\mathbb {R} _{+}\\&x\mapsto e^{x}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}y_{3}:&Dom(y_{3})=]-1,1[\,\cup \,]2,4[\\&x\mapsto {\begin{cases}e^{x}&x\in ]-1,1[\\y(3)e^{(x-3)}&]2,4[\end{cases}}\end{aligned}}$ 不同的定義域意味著完全不同的解

函式是由有序對 {(x,f(x))} 組成的集合，其中 $x\in Dom(f)$ 。如果定義域不同，則集合完全不同，因此解也完全不同。

$y_{1}$ ， $y_{2}$ 和 $y_{\mathbb {R} }$ 是它們各自定義域上的唯一解

這是區間唯一性定理的結論，因為它們的定義域都是區間。

如果定義域不是區間，則通常沒有唯一性

對於 $y_{3}$ 的固定定義域

$]-1,1[\,\cup \,]2,4[$

顯然不是區間，那麼對於我們選擇的任何值 y(3)，我們都會得到不同的解。

因此，即使定義域是固定的，但不是區間，並且存在區域性唯一性，也可能不存在全域性唯一性。這就是我們限制自己於最大區間定義域的主要原因，即使可能存在具有非唯一解的更大定義域。

為了唯一確定解，僅知道在 0 處的初始值是不夠的。我們還需要在 $]2,4[$ 上設定一個值，例如 y(3)。這是因為 0 處的初始條件與區間 $]2,4[$ 分離。我們需要在 $]2,4[$ 內部設定一個值，例如 y(3)，才能完全確定解。

$y_{\mathbb {R} }$ 是最大解 $y_{max}$

由於定義域是整個 $\mathbb {R}$ ，根據上述命題，它一定是最大解。

我們無需求解，就能直接看出 $Dom(y_{max})=\mathbb {R}$ ，因為 F 的增長是線性的，如亞線性增長定理所述。

我們還注意到，根據定義，任何定義域為區間的解，例如 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 都是 $y_{\mathbb {R} }$ 的限制。

在非區間上定義的解可能不是最大解 $y_{max}$ 的限制。

$y_{3}$ 不是 $y_{\mathbb {R} }$ 的限制，除非 $y(3)\neq e^{3}$ 。然而， $y_{3}$ 不是唯一的，在物理情況下是不可接受的，因為其定義域的兩個區間之間不存在因果關係。因此，如果它不是 $y_{\mathbb {R} }$ 的限制，這不是什麼大問題，因為 $y_{\mathbb {R} }$ 通常是“最佳”的解。