常微分方程/非齊次二階方程：待定係數法

考慮一個形如

$$y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)$$

顯然，由於$g(t)\neq 0$，此方程是非齊次的。

因此，為了求解此方程，我們首先像往常一樣進行，但假設方程是齊次的；暫時將$g(t)=0$。

然後解的第一個部分像$$y(t)=c_{1}e^{r_{1}t}+c_{2}e^{r_{2}t}.$$。

現在我們需要找到特解。為此，進行適當的代換，該代換與$g(t)$ 是什麼有關。例如，如果$g(t)=e^{2x}$，則進行代換$Ae^{2x}$。由於$y''$ 和 $y'$ 在這種情況下是 $y$ 的倍數，你將只得到一個關於 $A$ 的線性方程。然後將 $A$ 的值代入方程。

因此，解為.

y = 通解 + 特解

但是，你應該注意一個重要的注意事項。例如，在前面的示例中，如果通解中已經包含 $e^{2x}$，則代換不能為 $Ae^{2x}$，因為特解不能等於通解。在這種情況下，你需要將代換設為 $Axe^{2x}$。

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$${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {2dy}{dx}}+2y=4+e^{-2x}$$
已知
$$y(0)=4,y'(0)=-1$$

解

令 $y=e^{mx}$。則

$$(d^{2}y)/(dx^{2})+2dy/dx+2y\rightarrow (m+1)^{2}+1=0\rightarrow m+1=\pm i\rightarrow m=-1\pm i$$

因此，方程的一般形式變為

$$y=e^{-x}\left(P\cos {x}+Q\sin {x}\right)$$ 現在，需要找到特解。為此，我們考慮 RHS: $4+{2e}^{-2x}$。則替換變為 $A+Be^{-2x}$。然後 $y^{\prime }=-2Be^{-2x}$ 以及 $y^{\prime \prime }=4Be^{-2x}$。則方程簡化為 $4B-4B+2\left(A+Be^{-2x}\right)=4+2e^{-2x}\rightarrow 2A+2Be^{-2x}=4+2e^{-2x}$。因此 $A=2,B=1$。現在方程為

$$y=e^{-x}\left(P\cos {x}+Q\sin {x}\right)+2+e^{-2x}$$

$y\left(0\right)=4.$ 然後 $4=P+2+1\rightarrow P=1.$
$y^{\prime }\left(0\right)=-1$。然後 $$-e^{-x}\left(P\cos {x}+Q\sin {x}\right)+e^{-x}\left(Q\cos {x}-P\sin {x}\right)-2e^{-2x}=-1=>\ Q-P-2=-1\rightarrow Q-P=1\rightarrow Q=2.$$

因此最終方程為 $$y=e^{-x}\left(\cos {x}+2\sin {x}\right)+2+e^{-2x}$$