常微分方程/Riccati

Riccati 方程

${dy \over dx}+f(x)y^{2}+g(x)y+h(x)=0$

與之前的微分方程不同，因為一般來說，其解不能用初等積分表示。

但是，當已知一個特解時，我們可以從中得到通解。

設$y_{1}(x)$ 為一個特解，並設$y(x)=y_{1}+z$

使得方程變為

${dy_{1} \over dx}+{dz \over dx}+f(x)(y_{1}^{2}+2y_{1}z+z^{2})+g(x)(y_{1}+z)+h(x)$
$={dz \over dx}+(2y_{1}f(x)+g(x))z+f(x)z^{2}=0$

這是一個伯努利方程。