常微分方程/可分離變數 2

一階微分方程

可分離變數：現實世界的例子

此頁面提供了一些在周圍世界中找到簡單的可分離變數微分方程的例子。

加速度、速度和位置

微分方程的經典現實世界例子是加速度、速度和位置之間的關係。

$a(t)=v'(t)=x''(t)\,$

因此，如果你給出一個加速度方程，你就可以算出速度和位置。

示例 1 - 恆定加速度

假設加速度是一個常數 g（重力加速度，約為 10 m s^-2。t=0 時的初始速度為 v₀。初始位置為 x₀。求解 v 和 x。

首先，你需要求解 v。I.w.r.t.x。

$v'=a=g\,$

$\int v'dv=\int gdt\,$

$v=gt+C\,$

現在代入求解 C。

$v_{0}=g\times 0+C\,$

$C=v_{0}\,$

$v(t)=gt+v_{0}\,$

現在我們求解 x。

$x'=v=gt+v_{0}\,$

$\int x'dt=\int (gt+v_{0})dt$

$x={\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}t+C$

再次，現在我們求解 C。

$x_{0}={\frac {1}{2}}g\times 0^{2}+v_{0}\times 0+C$

$x_{0}=C\,$

$x(t)=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}t+x_{0}$

任何學習過物理的人都會認識到這是物體在一維空間中受到恆定力時的基本位置方程。

示例 2 - 抗性介質

假設我們正在透過一種抵抗運動的介質移動。在這個介質中，$a=-v^{2}$。求解v和x，已知初始速度為 10 m/s，初始位移為 0 m。

$a=v'=-v^{2}\,$

${\frac {dv}{dt}}=-v^{2}$

$\int {\frac {1}{v^{2}}}dv=\int -1dt$

$-{\frac {1}{v}}=-t+C$

$v={\frac {1}{t+C}}$

注意，隨著t的增加，速度會降低。這正是你預期介質抵抗你的運動並隨著時間的推移減慢你的速度時的現象。現在將t=0時的初始速度代入

$10={\frac {1}{0+C}}$

$C={\frac {1}{10}}$

$v={\frac {1}{t+0.1}}$

現在求解x。

$v=x'={\frac {1}{t+0.1}}$

${\frac {dx}{dt}}={\frac {1}{t+0.1}}$

${\frac {dx}{1}}={\frac {dt}{t+0.1}}$

$\int 1dx=\int {\frac {1}{t+0.1}}dt$

$x=ln(t+0.1)+D\,$

位置在整個過程中都在增加，但隨著時間的推移，增加的速度越來越慢。這再次是你對介質抵抗運動的預期。由於速度始終大於 0，我們不會停止前進，但隨著時間的推移，我們前進的距離會呈指數級減少。代入我們的邊界條件，

$0=ln(0+0.1)+D\,$

$D=-ln(0.1)\,$

$x=ln(t+0.1)-ln(0.1)=ln(10t+1)\,$

指數增長和衰減

科學中最常見的微分方程之一是

$y'=ky\,$.

該方程的解為

$y=Ce^{kt}\,$.

如果 *k* 為正，則稱為指數增長。如果 *k* 為負，則稱為指數衰減。兩者在科學中都有應用，但原因截然不同。

人口增長

假設我們有一群野生動物。我們想知道 *t* 年後會有多少動物。我們知道現在有多少動物。我們還知道出生率和死亡率。我們能解決這個問題嗎？

當然可以。首先，我們需要弄清楚增長率。如果出生率為 B，死亡率為 D，則總變化率為 (B-D)。由於這是增長率，我們需要將其乘以當前人口，才能得到人口增長。最終方程如下

$\Delta P=(B-D)P\,$

其中 P 代表人口。這看起來很像指數增長方程，不是嗎？實際上，將“delta”更改為微分，它就是指數增長方程。增長因子為 (B-D)。

示例 3

在一個特定的兔子種群中，出生率為 10%。死亡率為 15%。初始種群為 100。10 年後有多少隻兔子？我們始終會有兔子嗎？

根據我們對指數方程的解

$P=Ce^{(B-D)t}\,$

$100=Ce^{(B-D)\times 0}=Ce^{0}\,$

$C=100\,$

$P=100e^{-0.05t}\,$

$P(10)=100e^{-0.5}\approx 61$

不幸的是，我們不會總是擁有兔子。由於增長率為負，它們最終將滅絕。（注意：我們永遠不會真正達到 0，但現實生活中，你不可能少於 1 只兔子。如果我們測量的是連續屬性而不是離散屬性，那麼我們將始終擁有某些東西，只是會變得非常小）。

放射性衰變

指數增長的另一種情況是放射性同位素。如果你有一個放射性物質樣品，單個原子會隨機衰變或不衰變。雖然你無法準確知道有多少原子在什麼時候衰變，但你確實知道平均衰變率。每 λ 年，剩下的原子中有一半會衰變。這段時間 λ 稱為半衰期。樣品的 *活性*（每秒衰變的次數）稱為 A。從數學上看，這就像

${\frac {dA}{dt}}=\lambda A$

這些問題看起來和上面的問題一樣。就像兔子一樣，我們最終也會耗盡放射性原子。