常微分方程/可分離方程 4

存在性問題

1) f(x,y) 沒有間斷點，所以存在解。 ${\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}$ 沒有間斷點，所以解是唯一的。

2) f(x,y) 在點 (-1,10) 未定義，因為 ln(x) 未定義。 所以不存在解。

3) f(x,y) 在 y=1 和 -1 處有間斷點，但在 0 處沒有，所以存在解。 ${\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}$ 在 (0,16) 沒有間斷點，所以解是唯一的。

4) f(x,y) 在 y<0 處有間斷點，但在 1 處沒有，所以存在解。 ${\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}$ 在 1 處不連續，所以解不是唯一的。

5) f(x,y) 在 -3 和 -4 處有間斷點，但在 0 處沒有，所以存在解。 ${\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}$ 在 (5,9) 沒有間斷點，所以解是唯一的。

6) f(x,y) 在 x=5 處有間斷點，所以不存在解。

可分離方程

7) $y'=y^{3}sec^{2}(x)$

${\frac {dy}{y^{3}}}=sec^{2}(x)dx$

$\int {\frac {dy}{y^{3}}}=\int sec^{2}(x)dx$

$-{\frac {1}{2y^{2}}}=tan(x)+C$

$y=-{\frac {1}{\sqrt {(2tan(x)+C)}}}$

8) $y'={\frac {5y^{2}+6}{y}}$

${\frac {ydy}{5y^{2}+6}}=dx$

$\int {\frac {ydy}{5y^{2}+6}}=\int dx$

${\frac {1}{10}}ln(5y^{2}+6)=x+C$

$y=\pm {\sqrt {Ce^{10x}-{\frac {6}{5}}}}$

9) $y'=x^{3}/y^{3}$

$y^{3}dy=x^{3}dx$

$\int y^{3}dy=\int x^{3}dx$

${\frac {1}{4}}y^{4}={\frac {1}{4}}x^{4}+C$

$y=(x^{4}+C)^{\frac {1}{4}}$

10) $y'=x^{2}+3x-9$

$dy=(x^{2}+3x-9)dx$

$\int dy=\int (x^{2}+3x-9)dx$

$y={\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {3}{2}}x^{2}-9x+C$

11) $y'=cos(y)/sin(y)$

${\frac {sin(y)dy}{cos(y)}}=dx$

$\int {\frac {sin(y)dy}{cos(y)}}=\int dx$

$-ln(cos(y))=x+C$

$y=arccos(Ce^{x})$

12) $y'={\frac {cos(x)}{sin(y)}}$

$sin(y)dy=cos(x)dx$

$\int sin(y)dy=\int cos(x)dx$

$-cos(y)=sin(x)+C$

$y=arccos(-sin(x)+C)$

初始值問題

13) $y'=cos(x)+sin(x),y(0)=1$

$dy=(cos(x)+sin(x))dx$

$\int dy=\int (cos(x)+sin(x))dx$

$y=sin(x)-cos(x)+C$

$1=sin(0)-cos(0)+C=0-1+C=C-1$

$C=2$

$y=sin(x)-cos(x)+2$

14) $y'=7y^{2},y(5)=9$

${\frac {dy}{y^{2}}}=7dx$

$\int {\frac {dy}{y^{2}}}=\int 7dx$

$-{\frac {1}{y}}=7x+C$

$y={\frac {1}{-7x+C}}$

$9={\frac {1}{-7*5+C}}$

$C={\frac {316}{9}}$

$y={\frac {1}{-7x+{\frac {316}{9}}}}$