常微分方程/可分離方程：變數分離

定義

一個可分離ODE是以下形式的方程：

$x'(t)=g(t)f(x(t))$

對於一些函式 $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$. 在本章中，我們只關注 $n=1$ 的情況。

我們通常將此ODE寫為

$x'=g(t)f(x)$

為了簡潔，省略了 $x$ 的引數。

[注意，術語“可分離”來自於這樣一個事實，即一類重要的微分方程具有以下形式：

$x'=h(t,x)$

對於一些 $h:\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$; 因此，可分離ODE是這些方程中的一種，其中我們可以“分離” $h$ 為 $h(t,x)=g(t)f(x)$.]

解的非正式推導

使用萊布尼茲記號表示導數，我們得到可分離ODE解的非正式推導，這可以作為很好的助記符。

給定一個可分離ODE：

$x'=g(t)f(x)$

使用萊布尼茲記號，它變成：

${\frac {dx}{dt}}=g(t)f(x)$.

我們現在正式地將兩邊乘以 $dt$ 並將兩邊除以 $f(x)$，得到：

${\frac {dx}{f(x)}}=g(t)dt$.

對該方程進行積分得到

$\int {\frac {dx}{f(x)}}=\int g(t)dt$.

定義

$F(x):=\int {\frac {dx}{f(x)}}$;

這意味著 $F$ 是 ${\frac {1}{f(x)}}$ 的一個原函式。 如果 $F$ 可逆，則得到

$x=F^{-1}\left(\int g(t)dt\right)=F^{-1}\circ G$,

其中 $G$ 是 $g$ 的一個原函式；也就是說，$x(s)=F^{-1}(G(s))$，現在將變數 $x$ 重新代入記號中。

現在這個推導中的公式實際上沒有任何意義；它只是一個形式推導。 但是在下面，我們將證明它實際上產生了正確的結果。

一般解

定理 2.1:

設一個可分離的一維常微分方程

$x'(t)=g(t)f(x(t))$

給出，其中 $f$ 從不為零。設 $F$ 是 $f$ 的一個反導數，$G$ 是 $g$ 的一個反導數。 如果 $F$ 可逆，則函式

$x(t):=F^{-1}(G(t))$

解決了正在考慮的常微分方程。

證明:

根據反函式法則和鏈式法則，

${\frac {d}{dt}}F^{-1}(G(t))={\frac {1}{\frac {1}{f(F^{-1}(G(t)))}}}G'(t)=f(F^{-1}(G(t)))g(t)$;

由於 $f$ 從不為零，上述涉及 $f$ 的分數是定義良好的。$\Box$