常微分方程/簡諧運動

簡諧運動可用於描述一個線性彈簧末端質量的運動，彈簧沒有阻尼力或其他任何外部力作用在質量上。它最好被認為是振動彈簧的運動。

運動定律

一般有兩個定律可以幫助描述彈簧末端質量的運動。

1. 胡克定律
2. 牛頓第二定律

胡克定律

為了演示胡克定律，我們將使用一個（無質量）彈簧懸掛在天花板上。天花板是堅固的，對彈簧的運動沒有任何影響。

如果我們讓彈簧保持不動，並且不連線任何質量，彈簧將保持在一個未拉伸的狀態，總長度為$l$。現在，如果我們將任意質量（$m_{1}>0$）連線到彈簧的自由端，那麼彈簧將從原始長度（$l$）伸展一個距離（$s$）。所以現在 ${\mbox{length}}_{\mbox{total}}=s+l$.

最終，質量將在這個新的總長度處靜止，該位置被稱為平衡位置。這個位置是許多計算中將 $x=0$ 作為參考的位置。

這就是胡克定律起作用的地方。當彈簧伸展時，當質量連線時，一個力作用在質量上，該力的方向是原始未拉伸位置的方向。這個力可以用以下方程表示：${\vec {F}}={\vec {k}}s$。其中 ${\vec {F}}$ 是彈簧作用在質量上的力，${\vec {k}}$ 是彈簧的比例常數，通常稱為彈簧常數，$s$ 是彈簧從其未拉伸位置伸展的距離。

假設物體向下運動為正方向，向上運動為負方向。 如果您取物體的重量（${\vec {W}}$），它將等於彈簧在 $x=0$ 時施加的力，或平衡位置。 因此，我們現在知道 ${\vec {W}}={\vec {F}}$。 由於 ${\vec {W}}=m{\vec {g}}$ 和 ${\vec {F}}={\vec {k}}s$，透過代入，我們得到 $m{\vec {g}}={\vec {k}}s$。 如果您將這些設定為零，您將得到 $m{\vec {g}}-{\vec {k}}s=0$。

為什麼 ${\vec {k}}s$ 為負？ 這是因為無論物體的運動如何，彈簧-重力組合始終會施加一個與其運動相反的力。 例如，當物體向下運動超過平衡點時，彈簧會將其向上拉，以試圖恢復平衡。 當物體在平衡點上方時，彈簧的貢獻較小，而淨加速度則為向下，朝恢復平衡的方向。 它的行為就像在一個理想化的示例中，假設所有物體都遠離任何區域性重力效應，並且彈簧在完全無應力狀態下交替拉伸和壓縮。 一些示例使用了一個水平版本，其中物體在無摩擦的表面上滑動，以便更好地引入摩擦分量。

示例

示例 1

一個質量為 $1/4{\mbox{ slug}}$ 的物體連線到一個彈簧上，並將其拉伸了 $6{\mbox{ inches}}$。 計算彈簧的比例常數。

解決方案
使用組合方程 $mg-ks=0$，我們知道 $m=1/4{\mbox{ slug}}$ 和 $s=6{\mbox{ inches}}=1/2{\mbox{ ft}}$

（我們省略了向量，因為我們只尋找大小）

根據定義，我們知道 $g=32ft/s^{2}$

將所有內容代入，我們得到 $(1/4slug)(32ft/s^{2})-k(1/2ft)=0$.

解出 $k$，我們發現
$8{\mbox{ lb}}=k(1/2{\mbox{ ft}})$
$16{\mbox{ lb}}/{\mbox{ft}}=k$

示例 2

一個未知質量的物體將彈簧從天花板拉伸了10 釐米。彈簧的原始長度為 7 釐米。如果彈簧常數為 5 N/m，請計算物體的重量。

解決方案
首先，我們需要計算出質量連線後彈簧的拉伸距離。可以使用 ${\mbox{length}}_{\mbox{total}}=s+l$，其中 ${\mbox{length}}_{\mbox{total}}=10{\mbox{ cm}}=.1{\mbox{ m}}$ 以及 $l=7{\mbox{ cm}}=.07{\mbox{ m}}$。將所有內容代入並解出 $s$，我們發現 $s=.03{\mbox{ m}}$.

根據定義，我們知道 $W=mg$。有了它，以及 $mg-ks=0$，我們將所有內容代入並解出 $W$.

$W-(5{\mbox{ N}}/{\mbox{m}})(.03{\mbox{ m}})=0$
$W=.15{\mbox{ N}}=150{\mbox{ g}}$

牛頓第二運動定律

現在，假設我們有一個懸掛在彈簧上的另一個物體，彈簧連線在天花板上。然後將這個物體向下拉伸了一個距離 $x$，低於平衡點，然後釋放。根據胡克定律，彈簧將被向上拉回，並在到達最高點後開始向下運動。

如果物體在沒有外界影響的情況下繼續運動，則稱為自由運動。在運動過程中，有加速度作用在物體上使其保持運動。該加速度可以使用牛頓第二運動定律透過${\vec {F}}=m{\vec {a}}$找到。其中${\vec {F}}$是彈簧作用在物體$m$上的力，${\vec {a}}$是該物體由於作用在其上的力而產生的加速度。

從微積分我們知道$a={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$或$a={\ddot {x}}$。如果我們將這個代入胡克定律部分的方程式，我們會發現$m{\ddot {x}}-k(s+x)=0$。但是，由於此運動始終朝向彈簧力的方向，因此我們的方程式變為$m{\ddot {x}}+k(s+x)=mg$。展開此式，並求解$m{\ddot {x}}$，我們得到$m{\ddot {x}}=-k(s+x)+mg=-ks-kx+mg$。知道$mg-ks=0$，我們可以簡化我們的方程式，最終得到$m{\ddot {x}}=-kx$。

自由運動或簡諧運動的微分方程

最後，如果我們將上面的方程式設為零，我們將得到以下結果

$m{\ddot {x}}+kx=0$

由於我們的最高階導數係數應等於 1，因此我們除以質量得到

${\ddot {x}}+{\frac {k}{m}}x=0$

如果我們將$\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$代入，我們將得到這個方程的最終形式

${\ddot {x}}+\omega ^{2}x=0$

上述方程被稱為簡諧運動或自由運動。

初始條件

對於自由運動方程，通常需要兩個資訊來準確描述物體的運動。

1. 物體的起始位置。 $x_{2}$
2. 物體的起始運動方向和大小。 $v$

通常，一個資訊不會單獨存在。為了簡化，我們將考慮平衡點以下的所有位移為 $x>0$，以上為 $x<0$。

向上運動時 $v<0$，向下運動時 $v>0$。

解決方案

將該方程乘以 ${\dot {x}}$，得到

$m{\ddot {x}}{\dot {x}}+kx{\dot {x}}=0$

第一項和第二項是精確導數，因此該方程可以積分得到以下關係

$m{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}+k{\frac {x^{2}}{2}}=E$

該關係中的第一項稱為物體的動能，第二項稱為彈簧的勢能。上述積分表示能量守恆定律。這也是一個一階可分離微分方程。它可以改寫為

${\frac {dx}{\sqrt {{\frac {2E}{m}}-{\frac {k}{m}}x^{2}}}}=\pm dt$

該關係的積分得到

$\arccos x{\sqrt {\frac {k}{2E}}}=\pm {\sqrt {\frac {k}{m}}}t+\varphi$

或者，最終重新排列結果，代入$\omega ={\sqrt {k/m}}$，並解出$x$，我們得到

$x={\sqrt {\frac {2E}{k}}}\cos(\omega t+\varphi )$