常微分方程/微分方程的結構

微分方程都由某些組成部分組成，沒有這些部分，它們就不是微分方程。在處理微分方程時，我們通常的目標是解微分方程。在這種情況下，解是指一個新的函式，其中所有導數都消失了。如果這不可能，我們會尋求數值解。

微分方程

微分方程最基本的第一種例子是我們已經從微積分中學到的。那就是

$y'(x)=f(x)$

在這種情況下，我們知道如何解出 y（消去導數），透過對 f 進行積分。所以我們知道

$y(x)=\int _{a}^{x}f(x)\,dx+c.$

回想微積分基本定理，$\int _{a}^{x}f(x)\,dx$ 是 f(x) 的任意一個反導數，對於任何 a 的選擇。注意存在一個任意常數 c，因此我們得到一族解，每個 c 的選擇對應一個解。在本書的學習中，我們通常會遇到初始值問題。這些問題要求我們找到一個透過某個初始點（x₀, y₀）的常微分方程的解，其中 x₀ 是自變數，y₀ 是因變數。為了找到哪個解透過該點，只需將 x₀ 代入 x 的表示式，將 y₀ 代入 y(x₀)。這使我們能夠對通常是任意的 c 進行特定選擇。

${\begin{aligned}y_{0}&=\int _{a}^{x_{0}}f(x)\,dx+c\\c&=y_{0}-\int _{a}^{x_{0}}f(x)\,dx\end{aligned}}$

如果我們將 c 的這個選擇代入 y 的表示式，我們發現

${\begin{aligned}y(x)&=\int _{a}^{x}f(x)\,dx+y_{0}-\int _{a}^{x_{0}}f(x)\,dx\\&=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(x)\,dx\end{aligned}}$

注意，這實際上是微積分基本定理的陳述。

定義

一個 n 階常微分方程是形如

$F(y^{(n)},y^{(n-1)},\ldots ,y,x)=0$

的方程，其中 F 是 n + 2 個變數的函式，對它的第一個變數不恆定。

注意，n 可以解釋為導數的階數，$y^{(n)}$ 是第一個變數，而它本身是 x 的函式。這個定義可能難以理解。舉個例子，假設 F(t₁, t₂, t₃)=t₁-cos(t₃)t₂。那麼 F(y',y,x)=0 就變成了

$y'-\cos(x)y=0\quad {\text{or}}\quad y'=\cos(x)y$.

因此，根據我們上面的定義，y′=cos(x)y 是一個一階常微分方程。

一般來說，如果不對函式 F 施加一些限制，我們會遇到問題。例如，如果我們不要求 F 依賴於它的第一個變數，那麼我們可以取一個像 F(t₁, t₂, t₃)=1-cos(t₃)t₂ 這樣的函式，它獨立於它的第一個變數。在這種情況下，F(y′, y, x) = 0 就變成了 1 − cos(x)y=0，它根本不涉及導數！把這個叫做一階微分方程確實很奇怪。

我們從微積分中學到的常微分方程的一些具體例子是

${\frac {dy}{dx}}=x\,$

${\frac {dy}{dx}}=2\sin x^{2}.\,$

然而，它們也可能包含 y 對 x 的高階導數。例如

$xy{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+y{\frac {dy}{dx}}+e^{3x}=0$

也是一個常微分方程。

微分方程的特徵

微分方程的階數是指方程中所涉及的最高階導數的階數。因此

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-4{\frac {dy}{dx}}-3y=27x^{2}$

是一個二階微分方程，因為最高階導數是二階：d²y/dx²。

一個多項式微分方程的次數是指最高階導數的冪次。

線性微分方程和非線性微分方程

微分方程可以分為兩種主要型別：線性微分方程和非線性微分方程。

線性微分方程是比較簡單的型別。一個偏微分方程或常微分方程，如果它的次數為 1 且沒有更高次數，則被稱為線性。因此，

$4{\frac {dy}{dx}}-3y=27x^{2}$

是一個線性微分方程。

非線性微分方程要複雜得多，它們是任何非線性的微分方程。例如，

$y^{2},\,\,\,{\sqrt {y}}\,\,\,\cos y$

$\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)^{2}=-7y$

${\sqrt {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}+y^{2}=x$

是非線性微分方程。

只有極少數非線性微分方程可以精確求解 - 大多數需要近似求解。

齊次微分方程

齊次微分方程是指僅包含y（包括 y 的導數）項的方程。方程中不應出現包含自變數的項。因此，

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-y=0$

是齊次的。如果還剩下一些東西，那麼微分方程就是非齊次的，例如這個：

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-y=2x$

右邊的非零常數也意味著一個非齊次微分方程 - 畢竟常數仍然是一個函式。

一般來說，如果一個微分方程可以寫成

$a_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\ldots +a_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+a_{0}(x)y=0,$

其中a_n(x) 等是x 的函式，則它是齊次的。然而，如果它只能寫成

$a_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\ldots +a_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+a_{0}(x)y=b(x),$

其中 *b*( *x*) 是 *x* 的函式，它是非齊次的。

微分方程的解

此微分方程的解是任何函式 *y*=*f*(*x*)，當將其代入上述方程時，滿足該方程。

形式為

$f_{1}(x,y,C_{1},C_{2},C_{3},...,C_{n})=0$

其中 $C_{1},C_{2},C_{3},...,C_{n}$ 是任意常數被稱為微分方程的積分解，如果所有函式 *y*=*f*(*x*) 都是積分解的解，當 $C_{1},C_{2},C_{3},...,C_{n}$ 被替換為任何值（可能存在限制）都是微分方程的解。最初，雅各布·伯努利在 1689 年使用了積分這個詞，而尤拉在 1768 年使用了特解這個詞。解這個詞似乎最早出現在 1774 年由拉格朗日提出，並透過龐加萊，這個詞已被確立。

第三種類型的解稱為引數解，形式為

$x=x(t,C_{1},C_{2},C_{3},...,C_{n})$

和

$y=y(t,C_{1},C_{2},C_{3},...,C_{n})$

具有任意常數 $C_{1},C_{2},C_{3},...,C_{n}$，只要所有使第二個方程成為恆等式的函式 *y*=*f*(*x*) 也是微分方程的解。

人們試圖定義通解（以前稱為完全積分或完全積分方程，這是由於尤拉，這兩個術語現在有不同的含義）為具有任意常數的積分解，而奇解為不包含在通解中的積分解。然而，這些定義被證明是矛盾的，因為可能存在一個通解，它排除了奇解，而另一個通解可能包含奇解。因此，奇解的概念是矛盾的，沒有很好的方法來處理這些術語。

相反，我們將定義通解為包含微分方程所有解的積分解，而特解為微分方程的任何單個解或積分解。

在粗略意義上求解微分方程時，我們的目標是找到方法，將特定形式的方程直接求解為解，或者將其簡化為更易於處理的形式。稍後，我們將以更一般的意義來求解微分方程。

初值問題是一個微分方程，加上解 $y=f(x)$ 也必須滿足的初始條件

$y_{0}=f(x_{0})$

$y_{1}=f'(x_{0})$

$y_{2}=f''(x_{0})$

...

$y_{n}=f^{(n)}(x_{0})$

在特定$x_{0}$處。如果$x_{0}$不同，則稱為具有邊界條件的邊值問題。

我們首先考慮方程$y'=f(x)$的簡單情況。這可以透過以下定理輕鬆解決，你可能已經在微積分中證明了這個定理

與其他型別方程的關係

以下型別的方程通常不會在常微分方程的入門課程中遇到，但在這裡列出是為了說明微分方程在各種問題中的作用。

可以構造方程，其中所求函式是積分的一部分。此類方程稱為積分方程。微分方程中有一個定理指出，幾乎任何微分方程都可以改寫為積分方程。積分方程通常在掌握微分方程後才學習。在實踐中，有時對應的積分方程可能比原始微分方程更容易求解。

還可以遇到包含導數和積分的方程。這些方程可能可以轉換為純微分方程或積分方程，也可能不能。

另一個相關領域是差分方程。這些方程涉及形成導數，其中分母不是無窮小量，而是有限大小的量。它們的求解方法與微分方程的求解方法類似。它們解法的一個主要區別是，在微分方程中指數函式所扮演的角色，通常被另一個可能為複數的值所取代。

包含差分項和微分項的方程在實踐中並不常見。這些方程可能難以用封閉形式求解。

微分方程可以針對矩陣以及實數和複數進行構造。由於矩陣乘法通常不滿足交換律，因此在求解這些方程時必須注意因子的順序。

此外，分數階微分方程，可能是常微分方程或偏微分方程，也有一些特殊之處，因此在掌握了更常見形式的方程後才進行研究。

分數階微分方程在大多數教科書中很少提到，因此這裡簡要說明一下。典型的常微分方程涉及導數的整數冪，而分數階微分方程涉及任何冪。這種型別的方程的研究時間幾乎與其他型別的微分方程一樣長，但除了半導數方程（涉及 +/- 1/2 的冪）之外，用封閉形式求解它們的方法尚不清楚。擴散方程的許多例子（物理和化學中常見的偏微分方程）可以用半導數方程重新構造，並立即求解。

這種型別的微分方程難以求解的原因之一是，潛在解的範圍比其他地方遇到的範圍大得多。整數階導數要求函式可微：只有這種型別的函式才能成為典型微分方程的解。分數階導數可以應用於完全不連續的函式和一些廣義函式。用於識別這些不太為人所知的函式作為分數階微分方程的解的方法尚未得到系統地開發。

存在性和唯一性定理

除了嘗試求解新的微分方程之外，通常值得確定方程的解是否真的存在，以及如果存在，該解是否唯一。這些問題的答案將在後面證明的存在性和唯一性定理部分中給出。

由於大多數微分方程無法用封閉形式求解，因此數值解非常重要。雖然存在性定理對於初學者來說可能顯得比較深奧，但它們在嘗試進行數值解時非常重要：在實踐中，在嘗試計算解之前，知道解確實存在非常有用。

理解解存在和唯一的條件，通常可以提供有關解的定性資訊。例如，關於唯一性的基本定理指出，對於每個初始條件，都存在一個唯一的解。這意味著兩個解永遠不會相交。如果相交，你可以將交點作為你的初始資料，唯一性定理意味著這些解是同一個函式。我們將在文字的第二部分中更多地討論定性行為。