常微分方程/代換 1

一階微分方程

正如我們在之前的示例中看到的，有時即使方程最初不是可分離的，它也可以分解成可分離的形式。另一種將不可分離方程轉換為可分離方程的方法是使用**代換方法**。

一般代換過程

所有代換方法都使用相同的通用過程

1. 取方程的一個項，並用變數 *v* 替換它。關鍵是新變數必須涵蓋變數 *y* 的所有例項。否則代換將無濟於事。
2. 根據 *v* 和 ${\frac {dv}{dx}}$ 求解 ${\frac {dy}{dx}}$。為此，取方程 $v=f(x,y)$，其中 $f$ 是你替換的項，並求其導數。
   
3. 將 ${\frac {dv}{dx}}$ 代入並求解 *v*。
4. 將 *v* 代入被替換的原始項中，並求解 *y*。

常係數代換

假設我們有一個包含項 *ay* + *bx* + *c* 的方程，例如

${\frac {dy}{dx}}=G(ay+bx+c).$

其中 G 是一個函式。它不可分離。但我們有時可以透過將該項轉換為函式 *v* 來解決這些方程，定義 *v*(*x,y*) 並找到 *v*’(*x,y,y’*)。

$v(x,y)=ay+bx+c\,$

關於 *v* 的導數的技巧是 *y* 也是 *x* 的函式。因此 *v* 的導數變為

${\frac {dv}{dx}}=a{\frac {dy}{dx}}+b$

在 maxima 中，它看起來像這樣

(%i1) v:a*y(x)+b*x+c;

以及

(%i2) diff(v,x);

產生

(%o1) a*(dy/dx)+b

接下來，我們重新排列項並根據 *y*’(*x,v,v’*) 求解

${\frac {dy}{dx}}={\frac {{\frac {dv}{dx}}-b}{a}}$

現在將 v 代回原始方程式， ${\frac {dy}{dx}}=G(ay+bx+c)$，並將其轉換為 ${\frac {dv}{dx}}=f(v)$的形式。

${\frac {{\frac {dv}{dx}}-b}{a}}=G(v)$

${\frac {dv}{dx}}=aG(v)+b$

求解 v，即在兩邊積分

${\frac {dv}{dx}}=aG(v)+b$

${\frac {dv}{aG(v)+b}}=dx$

$\int {\frac {dv}{aG(v)+b}}=\int dx$

$\int {\frac {dv}{aG(v)+b}}=x+D$

一旦你有了 v(x)，將其代回 v(x) 的定義中即可得到 y(x)。

$y(x)={\frac {v(x)-c-bx}{a}}$

強烈建議不要死記硬背這個方程式，而是要記住解決問題的步驟。最終的方程式比較難懂，容易忘記，但是如果瞭解了步驟，就可以隨時解決它。如果使用其他替換方法，也會有所幫助。

示例 1

${\frac {dy}{dx}}=(x+y+3)^{2}$

讓我們用 v 替換被提升到冪的量。

$v=x+y+3\,$

現在讓我們找到 v'。

${\frac {dv}{dx}}={\frac {dy}{dx}}+1$

求解 y'

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dv}{dx}}-1$

代入 y 和 y'

${\frac {dv}{dx}}-1=v^{2}$

${\frac {dv}{dx}}=v^{2}+1$

現在我們使用在可分離變數中學習的方法來求解v。

${\frac {dv}{v^{2}+1}}=dx$

$\int {\frac {dv}{v^{2}+1}}=\int dx$

$\tan ^{-1}(v)=x+C\,$

$v=\tan(x+C)\,$

現在我們得到了v(x)，代入回去求解y(x)。

$y+x+3=\tan(x+C)\,$

$y=\tan(x+C)-x-3\,$

其他方法

這些並不是所有可能的替換方法，只是其中一些比較常用的方法。替換方法是一種簡化複雜微分方程的通用方法。如果您遇到無法求解的微分方程，有時可以透過找到一個替換並代入來解決它。只要尋找可以簡化方程的東西。請記住，在v和v'之間，您必須消除方程中的y。

示例 2

$2y{\frac {dy}{dx}}=y^{2}+x-1$

該方程不可分離，我們之前使用的方法都不能奏效。讓我們使用v = y² + x − 1的自定義替換。求解v'

${\frac {dv}{dx}}=2y{\frac {dy}{dx}}+1$

$2y{\frac {dy}{dx}}={\frac {dv}{dx}}-1$

代入原始方程

${\frac {dv}{dx}}-1=v$

求解v

${\frac {dv}{v+1}}=dx$

$\int {\frac {dv}{v+1}}=\int dx$

$\ln(v+1)=x+C\,$

$v=Ce^{x}-1\,$

現在代入並得到y

$Ce^{x}-1=y^{2}+x-1\,$

$y^{2}=Ce^{x}-x\,$

使用這個替換之後就很簡單了。記住這種方法，你將在更復雜的方程中使用它。