常微分方程/替換2

替換方法實際上適用於任何可以找到微分方程的地方。但是，很少有例項始終可以使用特定的替換方法。你通常會選擇一個並根據需要將其代入。因此，我將給出一些可以使用替換方法的情況，儘管你以後可能會學到更好的方法。

引數方程

你需要它的一個場合是解決引數方程。假設我們給出了二維速度函式 - $v_{x}(t)$ 和 $v_{y}(t)$。如果我們想要解出 $y(x)$，你必須除以 ${\frac {v_{y}}{v_{x}}}$。這將變成 ${\frac {\frac {dv_{y}}{dx}}{\frac {dv_{x}}{dx}}}={\frac {dy}{dx}}$。當你這樣做時，你經常（儘管並不總是）會有機會使用 ${\frac {y}{x}}$ 替換。

恆定速度

假設我們正在一條沒有水流的河裡以恆定速度 $v_{0}$ 游泳。我們開始以相對於岸邊 $\theta$ 的角度游泳。解出 $y(x)$

我們需要做的第一件事是將速度分解為 x 和 y 分量。這相當簡單。

$v_{x}=v_{0}cos(\theta )$

$v_{y}=v_{0}sin(\theta )$

使用簡單的三角函式，我們可以去掉 theta。

$v_{x}=v_{0}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

$v_{y}=v_{0}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

現在我們除以這兩個來找到 ${\frac {dy}{dx}}$。

${\frac {dy}{dx}}={\frac {v_{0}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}{v_{0}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}}={\frac {y}{x}}$

現在這個方程很容易用分離變數法求解。也可以用替換法求解。這是一個簡單的例子，但可以變得更加複雜。

逆流運動

想象一下同一個游泳者。現在有一股速度為 r 的水流直線上遊（正 y 方向）。這將如何改變我們的例子？

x 分量仍然相同。

${\frac {dx}{dt}}=v_{0}cos(\theta )={\frac {v_{0}x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

在 y 方向上，我們也有一個由於水流造成的項。

${\frac {dy}{dt}}=v_{0}sin(\theta )+r={\frac {v_{0}y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+r$

你可以透過將兩個方程相除得到 ${\frac {dy}{dx}}$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {y}{x}}+{\frac {r{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{v_{0}x}}$

我們可以將 x 移到根號內，以簡化方程

${\frac {dy}{dx}}={\frac {y}{x}}+{\frac {r{\sqrt {{\frac {x^{2}}{x^{2}}}+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}}{v_{0}}}$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {y}{x}}+{\frac {r}{v_{0}}}{\sqrt {1+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}$

嗯，這個複雜的方程看起來像一個需要 ${\frac {y}{x}}$ 替換的案例。

$v={\frac {y}{x}}$

$y=vx$

$y'=v+v'x$

$v+v'x=v+{\frac {r}{v_{0}}}{\sqrt {1+v^{2}}}$

$v'={\frac {r}{xv_{0}}}{\sqrt {1+v^{2}}}$

這是一個看起來很好，很容易解開的可分離方程。讓我們來解它。

${\frac {dv}{\sqrt {1+v^{2}}}}={\frac {r}{xv_{0}}}$

$\int {\frac {dv}{\sqrt {1+v^{2}}}}=\int {\frac {r}{xv_{0}}}$

左邊是一個比較複雜的積分。相信我就可以了。

$ln(v+{\sqrt {1+v^{2}}})={\frac {r}{v_{0}}}ln(x)+C$

$v+{\sqrt {1+v^{2}}}=e^{ln(x^{\frac {r}{v_{0}}})+C}$

$v+{\sqrt {1+v^{2}}}=Cx^{\frac {r}{v_{0}}}$

讓我們試著去掉那個根號。將其分離出來，然後兩邊平方。

${\sqrt {1+v^{2}}}=Cx^{\frac {r}{v_{0}}}-v$

$1+v^{2}=Cx^{2{\frac {r}{v_{0}}}}-2vCx^{\frac {r}{v_{0}}}+v^{2}$

$2vCx^{\frac {r}{v_{0}}}=C^{2}x^{2{\frac {r}{v_{0}}}}-1$

$v={\frac {Cx^{\frac {r}{v_{0}}}}{2}}-{\frac {1}{2Cx^{\frac {r}{v_{0}}}}}$

代入v，我們得到

${\frac {y}{x}}={\frac {Cx^{\frac {r}{v_{0}}}}{2}}-{\frac {1}{2Cx^{\frac {r}{v_{0}}}}}$

我們可以透過乘以x來解出y

$y={\frac {Cx^{{\frac {r}{v_{0}}}+1}}{2}}-{\frac {x}{2Cx^{\frac {r}{v_{0}}}}}$

$y={\frac {C}{2}}x^{{\frac {r}{v_{0}}}+1}-{\frac {1}{2C}}x^{{\frac {-r}{v_{0}}}+1}$

這個複雜的方程是有意義的 - 電流越大，y 方向上的移動距離就越大，這是 x 的一部分。

如果你在現實生活中遇到過如此複雜的方程，建議你使用計算機程式來求解它。