常微分方程/逐次逼近

$y'=f(x,y)$ 有一個解$y$ 滿足初始條件 $y(x_{0})=y_{0}$，則它必須滿足以下積分方程

$y=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y(t))dt$

現在我們將用逐次逼近法求解這個方程。

定義$y_{1}$ 為

$y_{1}=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{0})dt$

並定義$y_{n}$ 為

$y_{n}=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{n-1})dt$

現在我們將證明

1. 如果$f(x,y)$ 是有界的，且滿足 Lipschitz 條件，則函式序列收斂於一個連續函式
2. 此函式滿足微分方程
3. 這是此微分方程在給定初始條件下的唯一解。

證明

首先，我們證明 $y_{n}$ 位於盒子裡，這意味著 $|y_{n}(x)-y_{0}|<{\frac {1}{2}}h$。我們透過歸納法來證明這一點。首先，很明顯 $|y_{1}(x)-y_{0}|\leq {\frac {1}{2}}h$。現在假設 $|y_{n-1}(x)-y_{0}|\leq {\frac {1}{2}}h$。然後 $|f(t,y_{n-1}(t))|\leq M$，因此

$|y_{n}(x)-y_{0}|\leq \int _{x_{0}}^{x}|f(t,y_{n-1}(t))|dt\leq M(x-x_{0})\leq {\frac {1}{2}}Mw\leq {\frac {1}{2}}h$。這證明了當 $x_{0}<x$ 時的情況，而當 $x<x_{0}$ 時的情況的證明類似。

我們現在將透過歸納法證明 $|y_{n}(x)-y_{n-1}(x)|<{\frac {MK^{n-1}}{n!}}(x-x_{0})^{n}$。首先，很明顯 $|y_{1}(x)-y_{0}|<M(x-x_{0})$。現在假設它對 n-1 成立。然後

$|y_{n}(x)-y_{n-1}(x)|\leq \int _{x_{0}}^{x}|f(t,y_{n-1}(t))-f(t,y_{n-2}(t))|dt<\int _{x_{0}}^{x}K|y_{n-1}(t)-y_{n-2}(t)|dt$，這是由於 Lipschitz 條件。

現在，

$|y_{n}(x)-y_{n-1}(x)|<{\frac {MK^{n-1}}{(n-1)!}}\int _{x_{0}}^{x}||u-x_{0}|^{n-1}du={\frac {MK^{n-1}}{n!}}|x-x_{0}|^{n}$.

因此，級數 $y_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(y_{n}(x)-y_{n-1}(x))$ 在 $|x-x_{0}|\leq {\frac {1}{2}}w$ 範圍內是絕對且一致收斂的，因為它是小於指數函式的。

因此，極限函式 $y(x)=y_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(y_{n}(x)-y_{n-1}(x))=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}(x)$ 存在，並且在 $|x-x_{0}|\leq {\frac {1}{2}}w$ 範圍內是一個連續函式。

現在我們將證明這個極限函式滿足微分方程。