常微分方程/皮卡-林德洛夫定理

在本節中，我們的目標是證明幾個密切相關的結果，它們都被稱為“皮卡-林德洛夫定理”。當需要論證滿足某些邊界條件的常微分方程的存在性和唯一性時，經常使用這種型別的結果。

區域性結果

皮卡-林德洛夫定理（巴拿赫不動點定理版本）:

設 $I:=[a,b]$ 是一個區間，設 $f:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ 是一個連續函式，且

$x'(t)=f(t,x(t))$

是相應的常微分方程。如果 $f$ 在第二個引數中是利普希茨連續的，那麼這個常微分方程在 $[a,a+\epsilon ]$ 上具有唯一解，對於每個可能的初始值 $x(0)=x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$，其中 $\epsilon <1/L$，$L$ 是 $f$ 第二個引數的利普希茨常數。

證明:

我們首先將問題重寫為一個不動點問題。事實上，利用微積分基本定理，可以證明以下聯立方程

${\begin{cases}x'(t)=f(t,x(t))&t\in [a,a+\epsilon ]\\x(0)=x_{0}&\end{cases}}$

等價於單個方程

$\forall t\in [a,a+\epsilon ]:x(t)=x_{0}+\int _{a}^{t}f(s,x(s))ds$,

其中 $\epsilon$ 將在稍後階段確定。這意味著函式 $x(t)$ 是函式的固定點

$T:{\mathcal {C}}([a,a+\epsilon ])\to {\mathcal {C}}([a,a+\epsilon ]),T(x)(t):=x_{0}+\int _{a}^{t}f(s,x(s))ds$.

現在 $T$ 滿足如下 Lipschitz 條件

${\begin{aligned}\left\|T(x)(t)-T(y)(t)\right\|&=\left\|\int _{a}^{t}f(s,x(s))ds-\int _{a}^{t}f(s,y(s))ds\right\|\\&\leq \int _{a}^{t}\|f(s,x(s))-f(s,y(s))\|ds\\&\leq \int _{a}^{t}L\|x(s)-y(s)\|ds\\&\leq (t-a)L\|x-y\|_{\infty }\leq \epsilon L\|x-y\|_{\infty },\end{aligned}}$

其中我們取了 ${\mathcal {C}}([a,a+\epsilon ])$ 上的範數為上確界範數。如果現在 $\epsilon <{\frac {1}{L}}$，那麼 $T$ 是一個壓縮對映，因此 Banach 不動點定理適用，為我們提供了存在性和唯一性。$\Box$

用求和技巧代替不動點原理，我們得到了一個略微更好的結果，因為函式 $f$ 的定義域不必是整個 $[a,b]\times \mathbb {R} ^{n}$。

Picard–Lindelöf 定理（伸縮級數版本）:

令 $f:[a,b]\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ 為一個函式，該函式在第二引數上連續且滿足 Lipschitz 條件，其中 $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$，並令 $(t_{0},x_{0})\in \mathbb {R} \times \Omega$ 具有性質 $[t_{0}-s,t_{0}+s]\times {\overline {B_{r}(x_{0})}}\subseteq [a,b]\times \Omega$ 對於某些 $s,r>0$。如果在這種情況下 $\gamma \leq \min\{s,r/M\}$，其中 $M:={\underset {(t,x)\in [t_{0}-s,t_{0}+s]\times B_{r}(x_{0})}{\sup \|f(t,x)\|}}$，則初始值問題

${\begin{cases}x'(t)=f(t,x(t))&t\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}+\gamma ]\\x(t_{0})=x_{0}&\end{cases}}$

具有唯一的解。

證明:

我們首先證明唯一性。為此，我們使用 Gronwall 不等式。假設 $x,y$ 都是該問題的解。那麼

$\left\|x(t)-y(t)\right\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(t,x(t))-f(t,y(t))dt\right\|\leq \int _{t_{0}}^{t}\left\|f(t,x(t))-f(t,y(t))\right\|dt\leq 0+\int _{t_{0}}^{t}L\left\|x(t)-y(t)\right\|dt$,

因此，根據 Gronwall 不等式

$\left\|x(t)-y(t)\right\|\leq 0\cdot e^{\int _{t_{0}}^{t}Ldt}=0$

對於 $t\in [t_{0},t_{0}+s]$（右格朗沃不等式）和 $t\in [t_{0}-s,t_{0}]$（左格朗沃不等式）。

現在談談存在性。我們再次用歸納法定義

$x_{0}(t):=x_{0}$（常數函式），

$x_{n+1}(t):=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x_{n}(\tau ))d\tau$.

由於 $f$ 不一定在比 $[t_{0}-s,t_{0}+s]\times B_{r}(x_{0})$ 更大的集合上定義，我們需要證明這個定義總是合理的，即 $f(t,x_{n}(t))$ 對於所有 $n$ 和 $t\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}+\gamma ]$ 是定義的，也就是說，$x_{n}(t)\in B_{r}(x_{0})$ 對於 $t\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}+\gamma ]$。我們用歸納法證明這一點。

對於 $n=0$，這是顯然的。

現在假設 $x_{n}(t)\in B_{r}(x_{0})$ 對於 $t\in [t_{0},t_{0}+\gamma ]$。那麼

${\begin{aligned}\|x_{n+1}(t)-x_{0}\|&=\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x_{n}(\tau ))d\tau \right\|\\&\leq \int _{t_{0}}^{t}\|f(\tau ,x_{n}(\tau ))\|d\tau \\&\leq M\cdot \gamma \\&\leq M\cdot r/M=r.\end{aligned}}$

對於 $t\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}]$，我們得到一個類似的邊界。

根據伸縮和，我們有

$x_{n}(t)-x_{0}=\sum _{j=1}^{n}(x_{j}(t)-x_{j-1}(t))$.

此外，對於 $t\in [t_{0},t_{0}+\gamma ]$ 和 $j\geq 1$，

${\begin{aligned}\|x_{j+1}(t)-x_{j}(t)\|&=\left\|x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x_{j}(\tau ))d\tau -\left(x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x_{j-1}(\tau ))d\tau \right)\right\|\\&\leq \int _{t_{0}}^{t}\|f(\tau ,x_{j}(\tau ))-f(\tau ,x_{j-1}(\tau ))\|d\tau \\&\leq \int _{t_{0}}^{t}L\|x_{j}(\tau )-x_{j-1}(\tau )\|d\tau .\end{aligned}}$

因此，根據歸納法，

$\|x_{j+1}(t)-x_{j}(t)\|\leq \int _{t_{0}}^{t}Lr{\frac {|\tau -t_{0}|^{j-1}L^{j-1}}{(j-1)!}}d\tau \leq r{\frac {|t-t_{0}|^{j}L^{j}}{j!}}\leq r{\frac {\gamma ^{j}L^{j}}{j!}}$.

同樣地，對於 $t\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}]$，也有類似的上界。

因此，根據魏爾斯特拉斯 M-檢驗，這個伸縮和

$x_{n}(t)-x_{0}=\sum _{j=1}^{n}(x_{j}(t)-x_{j-1}(t))$

一致收斂；特別地，$x_{n}$ 收斂。

現在，我們可以將上述和式的求導和求和進行互換；因為一方面，它是**一致收斂**的，另一方面，

$\sum _{j=1}^{n}(x_{j}'(t)-x_{j-1}'(t))=\sum _{j=2}^{n}(f(t,x_{j-1}(t))-f(t,x_{j-2}(t)))+f(t,x_{0})=f(t,x_{n-1}(t))$,

當 $n\to \infty$ 時，收斂於 $f(t,x(t))$，根據定理 2.5 和 $x_{n}$ 的收斂性；注意每個 $x_{n}$ 的像都包含在緊集 ${\overline {B_{r}(x_{0})}}$ 中，即 $B_{r}(x_{0})$ 的閉包。因此，確實有

$x'(t)=\left(\sum _{j=1}^{\infty }(x_{j}(t)-x_{j-1}(t))\right)'=\sum _{j=1}^{\infty }(x_{j}'(t)-x_{j-1}'(t))=f(t,x(t))$

在 $[t_{0}-\gamma ,t_{0}+\gamma ]$.$\Box$