常微分方程/不含 x 或 y

不含 y 的方程

考慮如下形式的微分方程

$F(x,y')=0$.

如果我們能解出 y'，那麼我們可以簡單地對該方程進行積分，得到一個形式為 y=f(x) 的解。但是，有時解出 x 可能更容易。在這種情況下，我們得到

$x=f(y')$

然後對 y 求導，

${1 \over y'}={df \over dy'}{dy' \over dy}$

這使得它變成

$y=C+\int y'{df \over dy'}dy'$.

這兩個方程

$x=f(y')$

和

$y=C+\int y'{df \over dy'}dy'$

是關於 y' 的引數解。為了獲得顯式解，我們在這兩個方程之間消去 y'。

如果可能的話，表達

$F(x,y')=0$

引數化為$x=f(t),y'=g(t)$,

那麼可以對第一個方程求導

${\frac {1}{y'}}{\frac {dy}{dt}}=f'(t)$

所以

$y=C+\int g(t)f'(t)dt$

得到關於 $t$ 的引數解。如果可能的話，消去 $t$，那麼可以得到一個積分解。

不含 x 的方程

類似地，如果方程

$F(y,y')=0$.

可以解出 y，寫成 y=f(y')。那麼，透過與上面相同的過程得到的以下解是引數解

$y=f(y')$

$x=C+\int {\frac {f'(y')}{y'}}dy'$

此外，如果可以引數化 y 和 y'

$y=f(t),y'=g(t),$

那麼引數解為

$y=f(t),$

$x=C+\int {\frac {f'(t)}{g(t)}}dt$

因此，如果引數 $t$ 可以被消去，那麼就可以得到一個積分解。