常微分方程：速查表/二階非齊次常微分方程

一般形式

$p(D)y=g(x)$，其中 $p(D)$ 是一個二階常係數多項式微分運算元。

解的一般形式

一般解的形式為 $y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)$

其中

 $y_{c}(x)$ 被稱為互補解，是對應的齊次方程 $p(D)y=0$ 的解。

 $y_{p}(x)$ 被稱為特解，透過求解 $p(D)y_{p}=g(x)$ 獲得。

尋找互補解的方法

關於如何求解互補解的方法，在文章 二階齊次常微分方程 中有詳細討論。

尋找特解的方法

猜測法或待定係數法

根據 g(x) 從下表中選擇合適的 y_p (x)

$g(x)$	$y_{p}(x)$
$ae^{bx}$	$Ae^{bx}$
$a\cos {\alpha x}\pm b\sin {\beta x}$	$A\cos {\alpha x}\pm B\sin {\beta x}$
$a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$	$A_{0}+A_{1}x+\cdots +A_{n}x^{n}$

求 $p(D)y_{p}(x)=g(x)$，將各項係數相等，求解常數 $A$ 和/或 $B$ 和/或 $A_{0},A_{1},\cdots ,A_{n}$。如果導致無法確定結果，則令 $y_{p}(x)=x\times y_{p}(x)$，直到可解。

常數變易法

此方法適用於具有一個變數的變係數非齊次常微分方程。

假設已知常微分方程的兩個線性無關解。則

 $y_{p}(x)=-y_{2}(x)\int {y_{1}(x)g(x) \over W_{y_{1},y_{2}}(x)}dx+y_{1}(x)\int {y_{2}(x)g(x) \over W_{y_{1},y_{2}}(x)}dx$

拉普拉斯變換法求解

當給出初始條件時，

1. 求解兩邊的拉普拉斯變換（參見先前章節中的筆記，瞭解一些常見的變換）
2. 將 F(s) 單獨移到一邊
3. 將右邊的表示式拆解為部分分式
4. 求解逆拉普拉斯變換。

使用卷積

在使用拉普拉斯變換求解時，如果最終 $F(s)$ 的形式是 </math>g(s)h(s)</math>，則可以使用卷積的性質：

$L{f(t)*g(t)}=L{f(t)}\cdot L{g(t)}$

因此 $y(x)=g(s)*h(s)$.