常微分方程：速查表/二階齊次常微分方程

常係數方程

一般形式

$ay''+by'+cy=0$ 或 $p(D)y=0$，其中

$p(D)=aD^{2}+bD+c$ 被稱為具有常係數的多項式微分運算元。

解

1. 求解輔助方程，$p(m)=0$，得到 $m=\lambda _{1},\lambda _{2}$
2. 如果 $\lambda _{1},\lambda _{2}$ 是
   1. 實數且不相等，則 $y(x)=Ae^{\lambda _{1}x}+Be^{\lambda _{2}x}$
   2. 實數且相等，則 $y(x)=(Ax+B)e^{\lambda _{1}x}$
   3. 虛數，$\lambda _{i}=a\pm bi$，則 $y(x)=(A\cos {bx}+B\sin {bx})e^{ax}$

尤拉-柯西方程

一般形式

$ax^{2}y''+bxy'+cy=0$ 或 $p(D)y=0$，其中

$p(D)=ax^{2}D^{2}+bxD+c$ 被稱為多項式微分運算元。

解

求解 $ax^{2}y''+bxy'+cy=0$ 等同於求解 $ay''+(b-a)y'+cy=0$

一般變係數齊次ODE

如果已知一個特解

如果已知二階齊次線性方程的一個解，$y_{1}(x)\neq 0$，可以使用替換 $y_{2}=y_{2}(x)z(x)$ 和隨後的替換 $z^{'}(x)=u$ 將原始方程轉換為一階線性方程。

阿貝爾恆等式

對於齊次線性ODE $y''+p(x)y'+q(x)y=0$，其兩個解的朗斯基行列式由 $W_{(}y_{1},y_{2})(x)=W(x_{0})e^{-\int _{x_{0}}^{x}p(x)dx}$ 給出。

使用阿貝爾恆等式求解

給定一個齊次線性常微分方程和它的一個解， $y_{1}(x)$，使用阿貝爾恆等式求出其朗斯基行列式，並透過朗斯基行列式的定義，將兩者等式並求解出 $y_{2}(x)$.

一些有用的註釋

1. 如果 $y_{1},y_{2}$ 線性相關，則 $W(x)=0,\forall x$
2. 如果 $W(x)=0$，對於某個 $x$ 成立，則 $W(x)=0,\forall x$