偏微分方程/傅立葉分析方法

1. 偶函式和奇函式的傅立葉級數

如果 f(-x) = f(x)，則函式 f(x) 被稱為偶函式。

如果 f(-x) = -f(x)，則函式 f(x) 被稱為奇函式。

在圖形上，偶函式關於 y 軸對稱，而奇函式關於原點對稱。

示例

x 的奇數冪之和是奇數：5x³- 3x

x 的偶數冪之和是偶數：-x⁶ + 4x⁴+ x²-3

sin x 是奇數，cos x 是偶數

兩個奇函式的乘積是偶數：x sin x 是偶數

兩個偶函式的乘積是偶數：x²cos x 是偶數

一個偶函式和一個奇函式的乘積是奇數：sin x cos x 是奇數

2. 在對稱域上積分偶函式。

令 p > 0 為任意固定數。如果 f(x) 是奇函式，則

直覺：曲線在 [-p, 0] 上的面積與曲線在 [0, p] 上的面積相同，但符號相反。因此，它們相互抵消了！

令 p > 0 為任意固定數。如果 f(x) 是偶函式，則

直覺：曲線在 [-p, 0] 上的面積與曲線在 [0, p] 上的面積相同，但這次符號相同。因此，您只需找到曲線在 [0, p] 上的面積並將其加倍！

3. 週期函式

定義

如果存在一個數

T > 0 使得對於每個 x，f(x + T) = f(x)，則函式 f(x) 被稱為週期函式。最小的此類

T 稱為 f(x) 的週期。

直覺：週期函式具有重複的行為。週期函式可以在有限的區間上定義，

然後複製並貼上，使其自身重複。

4. 函式 f(x) 的傅立葉級數

a(k) = f(x) cos kx dxb(k) = f(x) sin kx dx

5. 傅立葉級數的餘項

Sn(x) = 前 n+1 項在 x 處的和。

餘項(n) = f(x) - Sn(x) = f(x+t) Dn(t) dt

Sn(x) = f(x+t) Dn(t) dt

D_n(x) = 狄利克雷核 =

7. 黎曼定理

.

如果 f(x) 在每個有限區間內除了有限個有限跳躍外都是連續的，則

lim_(k->) f(t) cos kt dt = lim_{(k-> )} f(t) sin kt dt = 0

函式 f(x) 在任意區間內的傅立葉級數。

A(0) / 2 + (k=1..) [ A(k) cos (k(Π)x / m) + B(k) (sin k(Π)x / m) ]

a(k) = 1/m f(x) cos (k(Π)x / m) dx

b(k) = 1/m f(x) sin (k(Π)x / m) dx

8. 帕塞瓦爾定理

.

帕塞瓦爾定理通常指的是傅立葉變換是酉的這一結果，即函式的平方之和（或積分）等於其變換的平方之和（或積分）。

如果 f(x) 是連續的；f(-PI) = f(PI)，則

f²(x) dx = a(0)² / 2 + (k=1..) (a(k)² + b(k)²)

函式 f(x) 的傅立葉積分

f(x) = ( a(y) cos yx + b(y) sin yx ) dy

a(y) = f(t) cos ty dt

b(y) = f(t) sin ty dt

f(x) = dy f(t) cos (y(x-t)) dt

9. 傅立葉積分的特殊情況

如果 f(x) = f(-x)，則

f(x) = cos xy dy f(t) cos yt dt

如果 f(-x) = -f(x)，則

f(x) = sin xy dy sin yt dt

10. 傅立葉變換

傅立葉餘弦變換

g(x) = () f(t) cos xt dt

傅立葉正弦變換

g(x) = () f(t) sin xt dt

11. 變換的恆等式

如果 f(-x) = f(x)，則

傅立葉餘弦變換 ( 傅立葉餘弦變換 (f(x)) ) = f(x)

如果 f(-x) = -f(x)，則

傅立葉正弦變換 ( 傅立葉正弦變換 (f(x)) ) = f(x)