偏微分方程/導論與第一個例子

什麼是偏微分方程？

令 $d\in \mathbb {N}$ 為一個自然數，令 $B\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為任意集合。在 $B$ 上的偏微分方程看起來像這樣

$\forall (x_{1},\ldots ,x_{d})\in B:h(x_{1},\ldots ,x_{d},u(x_{1},\ldots ,x_{d}),\overbrace {\partial _{x_{1}}u(x_{1},\ldots ,x_{d}),\ldots ,\partial _{x_{d}}u(x_{1},\ldots ,x_{d}),\partial _{x_{1}}^{2}u(x_{1},\ldots ,x_{d}),\ldots } ^{{\text{任意數量的有限個偏導數， }}n{\text{ 個 }}h{\text{ 的輸入}}})=0$

$h$ 是一個特定於偏微分方程的任意函式，它從 $\mathbb {R} ^{n}$ 到 $\mathbb {R}$，其中 $n\in \mathbb {N}$ 是一個自然數。在 $B$ 上的此偏微分方程的解是一個函式 $u:B\to \mathbb {R}$ 滿足上述邏輯語句。一些偏微分方程的解描述了自然界中的過程；這是它們如此重要的原因之一。

多重指標

在整個偏微分方程理論中，多重指標極其重要。只有藉助它們，我們才能更簡潔地寫下某些公式。

定義 1.1:

一個 $d$ 維度多重指標是一個向量 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，其中 $\mathbb {N} _{0}$ 是自然數和零。

如果 $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d})$ 是一個多重指標，那麼它的絕對值 $|\alpha |$ 定義為

$|\alpha |:=\sum _{k=1}^{d}\alpha _{k}$

如果 $\alpha$ 是一個 $d$ 維度多重指標，$B\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 是一個任意集合，並且 $u:B\to \mathbb {R}$ 足夠多次可微，我們定義 $\partial _{\alpha }u$，$\alpha$ 階導數 of $u$，如下

$\partial _{\alpha }u:=\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{d}}^{\alpha _{d}}u$

偏微分方程的型別

我們將偏微分方程分類為幾種型別，因為對於一種型別的偏微分方程，我們將需要與其他型別的微分方程不同的求解技術。我們將它們分類為線性方程和非線性方程，以及不同階的方程。

定義 1.2:

一個線性偏微分方程是一個具有以下形式的方程

$\forall x\in B:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u(x)=f(x)$

，其中只有有限多個 $a_{\alpha }$ 不是常數零函式。一個解的形式是一個函式 $u:B\to \mathbb {R}$。我們有 $B\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 對於任意 $d\in \mathbb {N}$，$f:B\to \mathbb {R}$ 是一個任意函式，公式中的和是對所有可能的 $d$ 維多重指標求和。如果 $f=0$，該方程被稱為齊次。

如果一個偏微分方程不是線性偏微分方程，則它被稱為非線性。

定義 1.3:

設 $n\in \mathbb {N}$。我們說一個偏微分方程具有$n$ 階當且僅當 $n$ 是使得它具有如下形式的最小數字

$\forall (x_{1},\ldots ,x_{d})\in B\subseteq \mathbb {R} ^{d}:h(x_{1},\ldots ,x_{d},u(x_{1},\ldots ,x_{d}),\overbrace {\partial _{x_{1}}u(x_{1},\ldots ,x_{d}),\ldots ,\partial _{x_{d}}u(x_{1},\ldots ,x_{d}),\partial _{x_{1}}^{2}u(x_{1},\ldots ,x_{d}),\ldots } ^{{\text{partial derivatives at most up to order }}n})=0$

偏微分方程的第一個例子

現在我們非常好奇偏微分方程在實際中到底是什麼樣子的。

定理和定義 1.4:

如果 $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 是一個可微函式，並且 $c\in \mathbb {R}$，那麼函式

$u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,u(t,x):=g(x+ct)$

滿足一維齊次輸運方程

$\forall (t,x)\in \mathbb {R} ^{2}:\partial _{t}u(t,x)-c\partial _{x}u(t,x)=0$

證明：練習 2。

因此，我們看到一維輸運方程有許多不同的解；對於每個連續可微函式都存在一個解。但是，如果我們要求解具有特定的初始狀態，則解就變得唯一。

定理與定義 1.5:

如果 $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 是一個可微函式，並且 $c\in \mathbb {R}$，那麼函式

$u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,u(t,x):=g(x+ct)$

是一維齊次輸運方程的初值問題的唯一解

${\begin{cases}\forall (t,x)\in \mathbb {R} ^{2}:&\partial _{t}u(t,x)-c\partial _{x}u(t,x)=0\\\forall x\in \mathbb {R} :&u(0,x)=g(x)\end{cases}}$

證明:

顯然 $\forall x\in \mathbb {R} :u(0,x)=g(x+c\cdot 0)=g(x)$。此外，定理 1.4 表明：

$\forall (t,x)\in \mathbb {R} ^{2}:\partial _{t}u(t,x)-c\partial _{x}u(t,x)=0$

現在假設我們有另一個任意的初值問題的解。我們把它命名為 $v$。那麼對於所有 $(t,x)\in \mathbb {R} ^{2}$，函式

$\mu _{(t,x)}(\xi ):=v(t-\xi ,x+c\xi )$

是常數

${\frac {d}{d\xi }}v(t-\xi ,x+c\xi )={\begin{pmatrix}\partial _{t}v(t-\xi ,x+c\xi )&\partial _{x}v(t-\xi ,x+c\xi )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1\\c\end{pmatrix}}=-\partial _{t}v(t-\xi ,x+c\xi )+c\partial _{x}v(t-\xi ,x+c\xi )=0$

因此，特別是

$\forall (t,x)\in \mathbb {R} ^{2}:\mu _{(t,x)}(0)=\mu _{(t,x)}(t)$

, 這意味著，插入 $\mu _{(t,x)}$ 的定義，我們得到

$\forall (t,x)\in \mathbb {R} ^{2}:v(t,x)=v(0,x+ct){\overset {\text{initial condition}}{=}}g(x+ct)$

, 這表明 $u=v$. 由於 $v$ 是一個任意的解，這表明解的唯一性。$\Box$

在下一章中，我們將考慮非齊次任意維度的輸運方程。

練習

1. 看看常微分方程的定義（例如，參見維基百科關於常微分方程的頁面），並證明每個常微分方程都是偏微分方程。
2. 使用直接計算證明定理 1.4。
3. 輸運方程的階數是多少？
4. 找到一個函式 $u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ 使得 $\partial _{t}u-2\partial _{x}u=0$ 且 $\forall x\in \mathbb {R} :u(0,x)=x^{3}$.

來源

• Martin Brokate (2011/2012), Partielle Differentialgleichungen, Vorlesungsskript (PDF) (德語) {{citation}}: Check date values in: |year= (help)
• Daniel Matthes (2013/2014), Partial Differential Equations, lecture notes {{citation}}: Check date values in: |year= (help)