偏微分方程/索伯列夫空間

有些偏微分方程沒有解。然而，其中一些方程有類似“幾乎是解”的東西，我們稱之為弱解。在這些方程中，有些偏微分方程的弱解可以模擬自然過程，就像有解的偏微分方程的解一樣。

這些弱解將是所謂的索伯列夫空間中的元素。透過證明索伯列夫空間中的元素一般具有的性質，我們將因此獲得偏微分方程弱解的性質，因此也是某些自然過程的性質。

在本章中，我們展示了索伯列夫空間元素的一些性質。此外，我們將證明索伯列夫空間是巴拿赫空間（這將幫助我們在下一節中研究弱解的存在性和唯一性）。

變分法的基本引理

但首先，我們將重複第 3 章中定義的標準平滑函式的定義。

例 3.4: 標準平滑函式 $\eta$，定義為

$\eta :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\eta (x)={\frac {1}{c}}{\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}}&{\text{ if }}\|x\|_{2}<1\\0&{\text{ if }}\|x\|_{2}\geq 1\end{cases}}$

, 其中 $c:=\int _{B_{1}(0)}e^{-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}}dx$，是一個撞擊函式（見練習 3.2）。

定義 3.13:

對於 $R\in \mathbb {R} _{>0}$，我們定義

$\eta _{R}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\eta _{R}(x)=\eta \left({\frac {x}{R}}\right){\big /}R^{d}$.

引理 12.1:（將由特徵函式版本替換）

令 $g\in L^{p}$ 是一個 簡單函式，即

$g=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\chi _{I_{j}}$,

其中 $I_{j}$ 是區間，而 $\chi$ 是 指示函式。如果

$\epsilon <1/2{\text{diam}}(I_{j})$,

那麼 $\|g*\eta _{\epsilon }-g\|_{p}\leq 2\epsilon \max _{k\in \{1,\ldots ,n\}}b_{k}$.

以下引理對於關於 Sobolev 空間的一些定理非常重要，被稱為變分法的基本引理

引理 12.2:

設 $S\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 並且設 $f,g:S\to \mathbb {R}$ 是函式，使得 $f,g\in L_{\text{loc}}^{1}(S)$ 並且 ${\mathcal {T}}_{f}={\mathcal {T}}_{g}$。那麼 $f=g$ 幾乎處處成立。

證明:

我們定義

$h:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,h(x):={\begin{cases}f(x)-g(x)&x\in S\\0&x\notin S\end{cases}}$

弱導數

定義 12.1:

令 $S\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為一個集合，$p\in [1,\infty ]$ 且 $f\in L^{p}(S)$。如果 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 是一個 $d$ 維多重指標，且 $g\in L^{p}(S)$ 使得

$\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}_{f}={\mathcal {T}}_{g}$

, 我們稱 $g$ 為 $f$ 的 $\alpha$ 階弱導數。

註記 12.2：如果 $f\in L^{p}(S)$ 是一個函式，且 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 是一個 $d$ 維多重指標，任何兩個 $\alpha$ 階弱導數在除零測度集以外的集合上是相等的。此外，如果 $\partial _{\alpha }f$ 存在，它也是 $f$ 的 $\alpha$ 階弱導數。

證明:

1. 我們證明任何兩個 $\alpha$ 階弱導數在除零測度集以外的集合上是相等的。

設 $g,h\in L^{p}(S)$ 是 $f$ 的兩個 $\alpha$ 階弱導數。 那麼我們有

${\mathcal {T}}_{g}=\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}_{f}={\mathcal {T}}_{h}$

符號 12.3 如果存在，我們將 $f$ 的 $\alpha$ 階弱導數記為 $\partial _{\alpha }f$，這當然與普通導數的符號相同。

定理 12.4:

設 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 是開集，$p\in [1,\infty ]$，$f,g\in L^{p}(O)$ 且 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$。假設 $f,g$ 具有 $\alpha$ 階弱導數，我們用符號 12.3 一致地記為 $\partial _{\alpha }f$ 和 $\partial _{\alpha }g$。 那麼對於所有 $b,c\in \mathbb {R}$

$\partial _{\alpha }(bf+cg)=b\partial _{\alpha }f+c\partial _{\alpha }g$

證明:

Sobolev 空間的定義和基本性質

定義和定理 12.6:

令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為開集，$p\in [1,\infty ]$，$f,g\in L^{p}(O)$ 以及 $n\in \mathbb {N} _{0}$。Sobolev 空間 ${\mathcal {W}}^{n,p}(O)$ 定義如下

${\mathcal {W}}^{n,p}(O):=\{f\in L^{p}(O):\forall \alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}{\text{ such that }}|\alpha |\leq n:\partial _{\alpha }f{\text{ exists}}\}$

在 ${\mathcal {W}}^{n,p}(O)$ 上的範數定義如下

$\|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}:=\sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }f\right\|_{L^{p}(O)}$

關於此範數，${\mathcal {W}}^{n,p}(O)$ 是一個 Banach 空間。

在上述定義中，$\partial _{\alpha }f$ 表示 $f$ 的 $\alpha$ 階弱導數。

證明:

1.

我們證明

$\|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}=\sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }f\right\|_{L^{p}(O)}$

是一個範數。

我們需要檢查範數的三個定義屬性

• $\|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}=0\Leftrightarrow f=0$（定性）
• $\|cf\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}=|c|\|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}$ 對於每個 $c\in \mathbb {R}$（絕對齊次性）
• $\|f+g\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}\leq \|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}+\|g\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}$（三角不等式）

我們從定性開始：如果 $f=0$，則 $\|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}=0$，因為常數零函式的所有方向導數都是零函式。此外，如果 $\|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}=0$，則可以推出 $\|f\|_{L^{p}(O)}=0$，這意味著 $f=0$，因為 $\|f\|_{L^{p}(O)}$ 是一個範數。

我們接著處理絕對齊次性。令 $c\in \mathbb {R}$。

${\begin{aligned}\|cf\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}&:=\sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }cf\right\|_{L^{p}(O)}&\\&=\sum _{|\alpha |\leq n}\left\|c\partial _{\alpha }f\right\|_{L^{p}(O)}&{\text{ theorem 12.4}}\\&=\sum _{|\alpha |\leq n}|c|\left\|\partial _{\alpha }f\right\|_{L^{p}(O)}&{\text{ by absolute homogeneity of }}\|\cdot \|_{L^{p}(O)}\\&=|c|\sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }f\right\|_{L^{p}(O)}&\\&=:|c|\|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}\end{aligned}}$

還需要證明三角不等式

${\begin{aligned}\|f+g\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}&:=\sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }(f+g)\right\|_{L^{p}(O)}&\\&=\sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }f+\partial _{\alpha }g\right\|_{L^{p}(O)}&{\text{ theorem 12.4}}\\&\leq \sum _{|\alpha |\leq n}\left(\left\|\partial _{\alpha }f\right\|_{L^{p}(O)}+\left\|\partial _{\alpha }g\right\|_{L^{p}(O)}\right)&{\text{ by triangle inequality of }}\|\cdot \|_{L^{p}(O)}\\&=\|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}+\|g\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}\end{aligned}}$

2.

我們證明 ${\mathcal {W}}^{n,p}(O)$ 是一個巴拿赫空間。

令 $(f_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 是 ${\mathcal {W}}^{n,p}(O)$ 中的柯西序列。由於對於所有 $d$ 維多重指標 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 其中 $|\alpha |\leq n$ 以及 $m,l\in \mathbb {N}$

$\|\partial _{\alpha }f_{l}-\partial _{\alpha }f_{m})\|_{L^{p}(O)}=\|\partial _{\alpha }(f_{l}-f_{m})\|_{L^{p}(O)}\leq \sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }(f_{l}-f_{m})\right\|_{L^{p}(O)}$

由於我們只添加了非負項，因此對於所有 $d$ 維的多重指標 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 且 $|\alpha |\leq n$，$(\partial _{\alpha }f_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 是 $L^{p}(O)$ 中的柯西序列。由於 $L^{p}(O)$ 是一個巴拿赫空間，因此該序列在 $L^{p}(O)$ 中收斂於一個極限，我們將其記為 $f_{\alpha }$。

現在我們證明 $f:=f_{(0,\ldots ,0)}\in {\mathcal {W}}^{n,p}(O)$ 且 $f_{l}\to f,l\to \infty$ 關於範數 $\|\cdot \|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}$ 收斂，從而表明 ${\mathcal {W}}^{n,p}(O)$ 是一個 Banach 空間。

為此，我們證明對於所有 $d$ 維的多重指標 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 且 $|\alpha |\leq n$，$f$ 的 $\alpha$ 階弱導數由 $f_{\alpha }$ 給出。收斂性則自動成立，因為

${\begin{aligned}f_{l}\to f,l\to \infty &\Leftrightarrow \|f_{l}-f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}\to 0,l\to \infty &\\&\Leftrightarrow \sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }(f_{l}-f)\right\|_{L^{p}(O)}\to 0,l\to \infty &\\&\Leftrightarrow \sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }f_{l}-\partial _{\alpha }f\right\|_{L^{p}(O)}\to 0,l\to \infty &{\text{by theorem 12.4}}\\\end{aligned}}$

其中最後一行所有被加數都收斂到零，前提是$\partial _{\alpha }f=f_{\alpha }$對於所有$d$維多重指標$\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$都成立，其中$|\alpha |\leq n$.

設$\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$。由於$\partial _{\alpha }f_{l}\to f_{\alpha }$，根據三角不等式

$\|\partial _{\alpha }f-f_{\alpha }\|\geq |\|\partial _{\alpha }f\|-\|f_{\alpha }\||$

，序列$(\varphi \partial _{\alpha }f_{l})_{l\in \mathbb {N} }$在足夠大的$l$時，被函式$2\|\varphi \|_{\infty }f_{\alpha }$支配，序列$(\partial _{\alpha }\varphi f_{l})_{l\in \mathbb {N} }$被函式$2\|\partial _{\alpha }\varphi \|_{\infty }f$支配。

incomplete: Why are the dominating functions L1?

因此

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{\alpha }\varphi (x)f(x)dx=&\lim _{l\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{\alpha }\varphi (x)f_{l}(x)dx&{\text{ dominated convergence}}\\&=\lim _{l\to \infty }(-1)^{|\alpha |}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\varphi (x)\partial _{\alpha }f_{l}(x)dx&\\&=(-1)^{|\alpha |}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\varphi (x)f_{\alpha }(x)dx&{\text{ dominated convergence}}\end{aligned}}$

, 這也是為什麼 $f_{\alpha }$ 是 $\alpha$ 階弱導數，對於所有 $d$ 維多重指標 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 其中 $|\alpha |\leq n$。$\Box$

用光滑函式逼近

現在我們將證明，對於任何 $L^{p}$ 函式，我們都能找到一個在 $L^{p}$ 範數意義下收斂於該函式的突起函式序列。

approximation by simple functions and lemma 12.1, ||f_eps-f|| le ||f_eps - g_eps|| + ||g_eps - g|| + ||g - f||

設 $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$ 是一個區域，設 $r>0$，且 $U\subset \Omega$，使得 $U+B_{r}(0)\subseteq \Omega$。進一步設 $u\in {\mathcal {W}}^{m,p}(U)$。則 $\mu _{\epsilon }*f$ 屬於 $C^{\infty }(U)$ 當 $\epsilon <r$ 且 $\lim _{\epsilon \to 0}\|\mu _{\epsilon }*f-f\|_{W^{m,p}(U)}=0$.

證明：第一個結論，即 $\mu _{\epsilon }*f\in C^{\infty }(U)$，源於以下事實：如果我們選擇

${\tilde {f}}(x)={\begin{cases}f(x)&x\in U\\0&x\notin U\end{cases}}$

那麼，根據上述關於對 $L^{p}$-函式進行平滑化處理的部分，我們知道第一個結論是正確的。

第二個結論源於以下計算，使用了一維鏈式法則

${\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}(\mu _{\epsilon }*f)(y)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\mu _{\epsilon }(y-x)f(x)dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial y^{\alpha }}}\mu _{\epsilon }(y-x)f(x)dx$

$=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\mu _{\epsilon }(y-x){\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial y^{\alpha }}}f(x)dx=(\mu _{\epsilon }*{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial y^{\alpha }}}f)(y)$

根據上述關於平滑化$L^{p}$-函式的部分，我們立即知道$\lim _{\epsilon \to 0}\|\mu _{\epsilon }*{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial y^{\alpha }}}f-f\|=0$，因此第二個結論可由$W^{m,p}(U)$-範數的定義得出。

令$\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為一個開集。那麼對於所有函式$v\in W^{m,p}(\Omega )$，存在一個在$C^{\infty }(\Omega )\cap W^{m,p}(\Omega )$中的函式序列來逼近它。

證明:

我們選擇

$U_{i}:=\{x\in \Omega :{\text{dist}}(\partial \Omega ,x)>{\frac {1}{i}}\wedge \|x\|<i\}$

以及

$V_{i}={\begin{cases}U_{3}&i=0\\U_{i+3}\setminus {\overline {U_{i+1}}}&i>0\end{cases}}$

可以看出，$V_{i}$ 是 $\Omega$ 的一個開覆蓋。因此，我們可以選擇一個函式序列 $({\tilde {\eta }}_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ （單位分解）使得

1. $\forall i\in \mathbb {N} :\forall x\in \Omega :0\leq {\tilde {\eta }}_{i}(x)\leq 1$
2. $\forall x\in \Omega :\exists {\text{ only finitely many }}i\in \mathbb {N} :{\tilde {\eta }}_{i}(x)\neq 0$
3. $\forall i\in \mathbb {N} :\exists j\in \mathbb {N} :{\text{supp }}{\tilde {\eta }}_{i}\subseteq V_{j}$
4. $\forall x\in \Omega :\sum _{i=0}^{\infty }{\tilde {\eta }}_{i}(x)=1$

透過定義 $\mathrm {H} _{i}:=\{{\tilde {\eta }}_{j}\in \{{\tilde {\eta }}_{m}\}_{m\in \mathbb {N} }:{\text{supp }}{\tilde {\eta }}_{j}\subseteq V_{i}\}$ 以及

$\eta _{i}(x):=\sum _{\eta \in \mathrm {H} _{i}}\eta (x)$，我們甚至得到了以下性質

1. $\forall i\in \mathbb {N} :\forall x\in \Omega :0\leq \eta _{i}(x)\leq 1$
2. $\forall x\in \Omega :\exists {\text{ only finitely many }}i\in \mathbb {N} :\eta _{i}(x)\neq 0$
3. $\forall i\in \mathbb {N} :{\text{supp }}\eta _{i}\subseteq V_{i}$
4. $\forall x\in \Omega :\sum _{i=0}^{\infty }{\tilde {\eta }}_{i}(x)=1$

其中，除了第三個屬性發生了變化，其他屬性與之前相同。令 $|\alpha |=1$，$\varphi$ 為一個光滑函式，$(v_{j})_{j\in \mathbb {N} }$ 為一個在 $L^{p}(\Omega )$ 範數下逼近 $v$ 的序列。計算結果

$\int _{\Omega }\eta _{i}(x)v_{j}(x){\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\varphi (x)dx=-\int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\eta _{i}(x)v_{j}(x)+\eta _{i}(x){\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}v_{j}(x)\right)\varphi (x)dx$

表明，透過在兩邊取極限 $j\to \infty$，$v\in W^{m,p}(\Omega )$ 意味著 $\eta _{i}v\in W^{m,p}(\Omega )$，因為 $\eta _{i}(x){\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}v_{j}(x)$ 的極限必須在 $L^{p}(\Omega )$ 中，因為我們可以選擇一個收斂到 1 的光滑函式序列 $\varphi _{k}$。

現在讓我們選擇

$W_{i}={\begin{cases}U_{i+4}\setminus {\overline {U_{i}}}&i\geq 1\\U_{4}&i=0\end{cases}}$

現在我們可以選擇任意$\delta >0$和$\epsilon _{i}$， 它們足夠小，使得

1. $\|\eta _{\epsilon _{i}}*(\eta _{i}v)-\eta _{i}v\|_{W^{m,p}(\Omega )}<\delta \cdot 2^{-(j+1)}$
2. ${\text{supp }}(\eta _{\epsilon _{i}}*(\eta _{i}v))\subset W_{i}$

現在讓我們定義

$w(x):=\sum _{i=0}^{\infty }\eta _{\epsilon _{i}}*(\eta _{i}v)(x)$

這個函式是無限可微的，因為根據定義，在每個$W_{i}$上只有有限個不為零的項，而且由於積分號下的微分萊布尼茲法則，和式中的項也是無限可微的。但是我們也有

$\|w-v\|_{W^{m,p}(\Omega )}=\left\|\sum _{i=0}^{\infty }\eta _{\epsilon _{i}}*(\eta _{i}v)-\sum _{i=0}^{\infty }(\eta _{i}v)\right\|_{W^{m,p}(\Omega )}\leq \sum _{i=0}^{\infty }\|\eta _{\epsilon _{i}}*(\eta _{i}v)-\eta _{i}v\|_{W^{m,p}(\Omega )}<\delta \sum _{i=0}^{\infty }2^{-(j+1)}=\delta$

由於$\delta$是任意的，這完成了證明。

令$\Omega$為有界區域，令$\partial \Omega$具有以下性質：對於每個點$x\in \partial \Omega$，存在一個鄰域${\mathcal {U}}_{x}$ 使得

$\Omega \cap {\mathcal {U}}_{x}=\{(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}:x_{i}<f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{d-1})\}$

對於連續函式 $f$。然後，$W^{m,p}(\Omega )$ 中的每一個函式都可以用 $C^{\infty }({\overline {\Omega }})$ 函式在 $W^{m,p}(\Omega )$ 範數中逼近。

證明:

to follow