物理習題/二維和三維運動學/解答

無微積分

1. 這個題目中最重要的需要注意的是，水平方向上沒有力：因此沒有水平加速度，所以水平速度是恆定的。
   1. 根據三角函式（畫個圖，找到包含 的直角三角形） $v_{x}=v_{0}cos(\theta )$.
   2. 與上面相同，$v_{y}=v_{0}sin(\theta )$.
   3. 因為 $a_{x}=0$，$v_{x}=v_{0}cos(\theta )$.
   4. 注意，在最高點，炮彈既沒有向上移動也沒有向下移動（根據定義），因此垂直速度必須是：$v_{y}=0$.
   5. 同樣，因為 $a_{x}=0$，$v_{x}=v_{0}cos(\theta )$.
   6. 找到這個的一個簡單方法是透過對稱性。一般來說（尤其是當最終高度與初始高度不同時），我們可以用能量守恆來計算（但你很可能還沒學過這個）。$v_{y}=-v_{0}sin(\theta )$。負號表示向下方向。
2. 這道題用到了被稱為伽利略相對性原理。這裡用到的運算只有在速度遠小於光速 c 時才近似正確，對於日常物體來說這是正確的。

   1. 5 km/h。記住速度是一個向量，需要向量地加兩個速度。根據勾股定理，她相對於岸邊的速度由下式給出

      $v={\sqrt {v_{\mathrm {boat} }^{2}+v_{\mathrm {walk} }^{2}}}$.

      代入給定的數值得到上面的答案。

   2. 53.1 度。最簡單的方法是將兩個向量尾部相連（這樣就能看到三角形）。這個角度，即兩個向量之和與北向方向之間的夾角，可以用兩個邊的反正切比值來表示：$\theta =\arctan(4/3)$，其近似值為上面給出的值。

有微積分

1. 這個問題基本上是一個微積分練習（這就是為什麼我們告訴你忽略這個問題的單位的原因——它不是很有物理意義）。

   1. 記住速度是一個標量，等於速度向量的模長。用勾股定理計算模長

      $v(t)={\sqrt {(sin(t))^{2}+e^{2t}}}$.

   2. 一般情況下，請記住

      $x(t)=\int _{0}^{t}v(t)dt'$.

      分別對每個垂直方向進行積分得到

      ${\vec {x}}(t)=-cos(t)~{\hat {x}}+e^{t}~{\hat {y}}$.

      這裡，積分常數為零，因為我們從原點開始。

   3. 請記住，加速度也是一個向量。這與上面相同，只是這次您執行導數，因為${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$。微分後，我們得到

      ${\vec {a}}(t)=cos(t)~{\hat {x}}+e^{t}~{\hat {y}}$.