物理習題/一維運動學/解答

不使用微積分

1. 3.1 秒.

   使用運動學方程 $y=y_{0}+v_{0}t+(1/2)at^{2}$。設岩石的初始高度 $y_{0}=0$。然後方程簡化為 $y=t(v_{0}+(1/2)at)$。因此，t 有兩個解：t = 0 秒和 $t=-2v_{0}/a$。代入 $v_{0}=15~\mathrm {m/s}$ 和 $a=-9.8~\mathrm {m/s^{2}}$ 得到 t = 3.1 秒。

2. 設自動扶梯的長度為 L，自動扶梯的速度為 v₁，人在地面上的步行速度為 v₂。一個人站在自動扶梯上從起點到終點需要 t₁ 秒，因此 $L=v_{1}t_{1}$。如果這個人逆著自動扶梯行走，他的淨速度為 $v_{2}-v_{1}$；他需要 t₂ 秒來走完自動扶梯的長度，因此 $L=(v_{2}-v_{1})t_{2}$。由於 $L=v_{1}t_{1}=(v_{2}-v_{1})t_{2}$，我們發現 $v_{1}(t_{1}+t_{2})=t_{2}v_{2}$ 或 $v_{2}=\{(t_{1}+t_{2})/t_{2}\}v_{1}$。現在，當這個人沿著自動扶梯向下行走時，他的淨速度為 $v_{1}+v_{2}$。如果他這次需要 t 秒，那麼 $L=(v_{1}+v_{2})t=\{1+(t_{1}+t_{2})/t_{2}\}v_{1}t$。將 $v_{1}$ 用已知量表示，$v_{1}=L/t_{1}$，並解出 t，得到
   $t=(t_{1}t_{2})/(t_{1}+2t_{2})=3.75~\mathrm {s}$.

   請注意，透過儘可能用符號進行計算，我們實際上發現最終答案與 L 無關。這是在最後階段才進行數值代入的眾多優勢之一。（像任何規則一樣，這個規則也有例外，但要從遵循規則開始，當你足夠熟練時，你會自己注意到例外。）

3. 14.4 秒 和 200 米

   設腳踏車的位移為 x_b，汽車的位移為 x_c。我們從運動學方程知道 $x_{f}=x_{i}+v_{i}t+(1/2)at^{2}$。因為我們假設腳踏車和汽車都以恆定速度（分別為 25 公里/小時和 50 公里/小時）運動，所以我們可以說這個等式中的加速度 (a) 為零（在兩種情況下都是）。因此我們可以寫出兩個運動方程

   腳踏車的方程為 $x_{b}=x_{bi}+v_{b}t$，而汽車的方程為 $x_{c}=x_{ci}+v_{c}t$。

   因為我們對兩個物體相遇的點感興趣，所以我們可以放心地說，我們正在尋找 $x_{b}=x_{c}$ 的點。解這個表示式，我們得到 $x_{bi}+v_{b}t=x_{ci}+v_{c}t$，因此可以求得兩個物體到達同一位置所需的時間為 $t=(x_{bi}-x_{ci})/(v_{c}-v_{b})$。在我們可以代入任何值之前，我們需要確保它們具有相同的單位，因此 25 km/hr 變為 6.944 m/s，而 50 km/hr 變為 13.888 m/s。代入這些值，我們得到 $t=(100m-0m)/(13.888m/s-6.944m/s)=14.4s$。

   最後，為了找到他們相遇的位置，只需將這個時間值代入兩個運動方程中的任何一個，我們得到 $x=0+(13.888m/s)(14.4s)=200m$。

4. 18 英里/小時

灰姑娘的速度，$v_{c}$ 是 12 英里/小時。

灰姑娘使用的時間，$t_{c}$ 是 0.25 小時。

王子的速度，$v_{p}$ 未知。

王子使用的時間，$t_{p}$ 是 0.16666 小時或 $1/6h$。

由於他們必須相遇，所以他們所走的距離將相等，然後

$v_{c}t_{c}=v_{p}t_{p}$

$(12)(0.25)=v_{p}(1/6)$

$v_{p}=18$

使用微積分

1. 基本方程式如下：$a={\frac {dv}{dt}}$，$v={\frac {dx}{dt}}$。由於我們的最終目標是將 *x* 表示為 *t* 的函式，我們應該先透過對第一個表示式積分來求解 *v(t)*

   $v(t)=\int _{0}^{t}dv=\int _{0}^{t}a~dt'=at+v_{0}$

   再次積分就得到了 *x(t)* 的最終表示式

   $x(t)=\int _{0}^{t}dx=\int _{0}^{t}v~dt'=\int _{0}^{t}(at+v_{0})~dt'=(1/2)at^{2}+v_{0}t+x_{0}$.

2. e cm.

   位置隨時間的變化可以用無限級數表示

   $x=x_{0}+v_{0}t+(1/2)a_{0}t^{2}+(1/3\cdot 2)j_{0}t^{3}+\cdots$.
   當令$x_{0}=v_{0}=a_{0}=j_{0}=\cdots =1$ 時，您應該會識別出由此產生的級數是 $e^{t}$ （乘以 1 cm）的泰勒級數
   $e^{t}=1+t+(1/2)t^{2}+(1/3!)t^{3}+\cdots$.

   將$t=1$ 代入，得到 $x=e^{1}=e~\mathrm {cm}$。

   細心的讀者會注意到，我們突然在中間放棄了單位。為了嚴謹起見，我們將從每個 *t* 的書面表示式中分解出“1 秒”，並將它吸收進係數（這樣，*t* 就變成了無量綱的，所有係數都具有 cm 的單位）。