透過影片遊戲解釋物理學/工作介紹

透過影片遊戲解釋物理學
← 張力和圓周力	工作介紹	動能 →

主題 3.1 - 工作介紹

目標

瞭解什麼是工作。
理解和應用工作推導。
瞭解工作和力在圖形上的關係。

示例 1：滾動城市巨石

由於作用於巨石上的力，巨石上做了功。此外，巨石在相同方向上發生了位移。

為了進一步描述物理物體的行為，我們可以考慮功。功是系統內的一種能量形式，我們將在稍後討論。它涉及考慮作用在物體上的選定力的量級和物體發生的位移。

在最簡單的形式中，功是力的量級和物體位移的乘積，前提是 (1) 力是恆定的，(2) 力和位移向量指向相同方向。在這種特殊情況下， ${\text{Work}}={\text{Force}}\cdot {\text{Displacement}}$ . 我們可以使用功可以用符號 $W$ 表示的約定，使得 $W={\vec {F}}{\vec {d}}$ .

例如，考慮在swiped3的修改版lack of comfort中滾動的圓形巨石。巨石在平面上向右加速。這是因為風在推動巨石，在巨石上施加了一個恆定的 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ ，該力指向右側。此外，在影片中，存在一個指向右側的位移向量。

練習：假設 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 的量級為 $10.\;{\text{N}}$ 且位移量級為 $5.0\;{\text{m}}$ 。巨石上做的淨功是多少？

答案

在這種情況下，我們被告知力是恆定的。此外，我們可以在圖中看到 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 和 ${\vec {d}}$ 向量指向相同方向（指向右側）。因此，我們可以使用公式 $W={\vec {F}}{\vec {d}}$ ，如下所示，以找到淨力 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 對巨石做的功。

$W={\vec {F}}{\vec {d}}$

$W_{\text{net}}={\vec {F}}_{\text{net}}{\vec {d}}$ [我們正在考慮淨力對球做的功。因此，我們正在計算對球的淨功。]

$W_{\text{net}}=(10.)(5.0)\;{\text{N}}\cdot {\text{m}}$ [代入。]

$W_{\text{net}}=50.\;{\text{N m}}$ [兩位有效數字。]

當巨石在屋頂上滾動時，它具有 $50.\;{\text{N m}}$ 的淨功。

示例 2：螺旋槳飛機

一架飛機下降的示意圖，上面覆蓋著位移向量。

如之前在主題 2.3 - 牛頓第二定律中所見，讓我們再次考慮 *TiM MELL0* 製作的 *機動飛機* 地圖，其中玩家 Sam（紅色）駕駛飛機降落到地面。我們將用這個例子來概括計算物體上恆力做的功的概念。

值得注意的是，即使位移向量與力向量不平行，我們也可以計算力對物體做的功。有了這個，我們可以使用物體做的功的一般公式，給定一個恆力。

恆力做的功的定義

W={\vec {F}}{\boldsymbol {\cdot }}{\vec {d}}

上面等式中要注意兩點：

功是一個一維值。但是，它可以是負的也可以是正的。有關更多資訊，請參閱 Khan Academy 的此影片。此外，下一個示例將進一步闡述此概念。
該等式中使用了點積。這是一種兩個向量之間的乘法。通常，此概念是在預備微積分課程中介紹的。

我們也可以將恆力做的功的一般公式寫成 $W=Fd\cos(\theta )$ 的形式。其中：

$F$ 和 $d$ 分別是向量 ${\vec {F}}$ 和 ${\vec {d}}$ 的大小。
$\theta$ 是兩個向量方向之間的差值。

練習： 假設飛機下降時受到

8.0\cdot 10^{4}\;{\text{N}}

的重力（方向向下）。在飛機路徑上標註為“開始”和“結束”的兩個點之間，測得距離為

100.\;{\text{m}}

。此外，飛機在這兩點之間的位移向量指向

30.^{\circ }

低於+X軸。重力在這兩個標註點之間所做的功是多少？

答案： 為了解決這個問題，我們可以先列出題目中提到的資訊。

我們需要計算重力對飛機所做的功。
重力向量的大小為 $8.0\cdot 10^{4}\;{\text{N}}$ ，方向向下。
位移向量的大小為 $100.\;{\text{m}}$ 。它指向 $30.^{\circ }$ 低於+X軸。

有了這些資訊，我們可以找到將變數代入方程 $W=Fd\cos(\theta )$ 所需的變數。更具體地說，重力向量的大小是我們的 ${\vec {F}}$ 變數。此外，位移向量代表 ${\vec {d}}$ 變數。因此，我們可以將部分變數代入方程，得到

$W=Fd\cos(\theta )$ [公式]

$W_{grav}=F_{grav}d\cos(\theta )$ [我們正在考慮重力對飛機的作用。]

$W_{grav}=(8.0\cdot 10^{4})(100.)\cos(\theta )\;{\text{N m}}$ [將重力和位移向量的大小代入。]

為了考慮 $\theta$ 的值，我們可以將 ${\vec {F}}_{grav}$ 和 ${\vec {d}}$ 繪製成右側的圖。根據給定的資訊和圖，我們可以發現 $\theta =60.^{\circ }$ 。我們可以將該值代入我們對 $W_{grav}$ 的方程中，並繼續簡化。

$W_{grav}=(8.0\cdot 10^{4})\;(100.)\cos(60.^{\circ })\;{\text{N m}}$ [將 $\theta$ 代入]

$W_{grav}=4.0\cdot 10^{6}\;{\text{N}}\,{\text{m}}$ [使用度數模式；代數；兩位有效數字]

當飛機下降時，重力對飛機做了 $4.0\cdot 10^{6}\;{\text{N}}\,{\text{m}}$ 的功。

示例 3：裝配線

內容先決條件
在閱讀本示例之前，請觀看由可汗學院製作的相關影片。

一條裝配線上有彩色箱子在傳送帶上滾動。

我們也可以計算力的功，即使力在變化。假設在 antidonaldtrump / Armin van Buren 的地圖 *工廠複製地圖* 中，彩色箱子被推著沿著裝配線移動。在裝配線的頂層，箱子受到一個淨力，這個力推動它們沿著裝配線向前移動，使它們向左加速。

與之前的例子不同，作用在物體上的力是變化的。這意味著方程 $W=Fd\cos(\theta )$ 假設力是恆定的，不能直接使用。

相反，我們可以考慮用圖形方法計算彩色箱子上的功。

逐步演示：假設在裝配線的頂層，

黃色箱子翻到側面，開始沿著兩條傳送帶向左移動。
黃色箱子沿著第一條傳送帶移動了 $1.0\;{\text{m}}$ 。

黃色箱子在第一條傳送帶上受到的淨力為 $200.\;{\text{N}}$ 。
然後，黃色箱子沿著第二條傳送帶移動了 $4.0\;{\text{m}}$ 。
黃色箱子在第二條傳送帶上受到的淨力為 $300.\;{\text{N}}$ 。

在本例中，我們將用圖形方法計算黃色箱子在淨力作用下的功。為此，我們可以建立一個黃色箱子上的力關於其位移的函式，如右圖所示。為了更深入地瞭解，我們需要考慮一些關於功的理論。

力的功是該力在距離上的積累。換句話說，我們可以繪製力關於距離的函式圖。由於功是力關於距離的積累，因此上述函式下的面積就是功。

根據這個定義，我們可以繪製一個黃色方塊的合力圖， ${\vec {F}}_{net}$ 關於 ${\vec {d}}$ 的變化圖。由於作用在黃色方塊上的力是 *依賴*於方塊的位置的， ${\vec {F}}_{net}$ 是自變數 ( $Y\;{\text{axis}}$ )， ${\vec {d}}$ 是因變數 ( $X\;{\text{axis}}$ )。

如上所述，由於功是關於距離的力的累積，如果我們要計算綠色曲線和 $X$ 軸之間的面積，這將是在黃色方塊上從 $0.0\;{\text{m}}$ 到 $5.0\;{\text{m}}$ 做的功。

這可以透過將圖示圖形分解成兩個矩形來實現，如圖所示。從這裡，我們可以輕鬆地計算出每個矩形的面積，從而得到所做的功。

由此，我們可以將兩個矩形的面積加起來得到所做的功。

形狀	形狀面積	相關位移域
紫色矩形	$200.\;{\text{Nm}}$	$0.0$ 到 $1.0\;{\text{m}}$
藍色矩形	$1200.\;{\text{Nm}}$	$1.0$ 到 $5.0\;{\text{m}}$
總面積	$1400.\;{\text{Nm}}$ ( ${1.40\cdot 10^{3}}\;{\text{Nm}}$ 在考慮有效數字後)	$0.0$ 到 $5.0\;{\text{m}}$